구면 위상수학 수학 모델
이탈리아어: 안드레아 산부세티, 로마 대학교
여기 클릭하여 1:1 스케일의 모델 도면을 표시하고 인쇄, 자르기 위해 사용할 수 있습니다. 두 가지 다른 색상의 브리스톨지에 네 개의 복사본을 만들어, 조립 지침을 따라 직접 모델을 만들 수 있습니다.
이 사이트의 초기 페이지 왼쪽에서 끊임없이 회전하는 이상한 물체를 보셨을 것입니다. 이건 무엇일까요?
언젠가 시간이 생기면, 1979년 1월의 'Pour la Science' 잡지에서 제가 설명했던 구의 뒤집기(역전)에 대한 설명을 이 사이트에 설치하겠습니다. 그때는 이미 22년 전이었죠! 이 모든 것은 많은 세부 사항과 소개가 필요합니다. '구를 뒤집다'는 말은 무엇을 의미할까요? 일반인과 수학자-기하학자에게는 구라는 개념이 다릅니다. 일반인에게 구는 고정된 점 O로부터 거리 R에 있는 공간의 점들의 집합일 뿐입니다. 그러나 기하학자는 '변형된 구'—예를 들어 감자처럼—도 여전히 '구'라고 부릅니다. 이러한 개념을 더 정확히 이해하기 위해 'Topologicon' 만화가 담긴 란투르루 CD를 구입해 보세요. 그러나 수학자는 더 나아갑니다. 각 점에서 접선 평면을 정의할 수 있는 표면을 '정칙'이라고 부릅니다. 이는 구의 정칙 변형이 무한히 가능하다는 것을 의미합니다. 감자처럼 무수한 형태로 변형할 수 있으며, 표면의 면적도 임의로 변화시킬 수 있습니다. 그러나 현실 세계에서는, 누구든 구를 뒤집어 표면의 내부를 바깥쪽으로 끌어내려고 하면, 표면이 스스로를 통과시키는 것을 막을 수 있습니다. 이 가정—즉 표면이 스스로를 통과하거나 심지어 접촉하는 것을 금지하는—을 따르면, 수학자는 구 S2의 '임베딩(embedding)'을 말합니다. 그러나 수학자는 언제나 모든 것을 허용합니다. 수학자에게 구는 물리적인 것이 아니라 '가상의' 객체이며, 한 면이 다른 면을 통과하는 것은 가능하다고 간주합니다. 아래의 그림들은 스스로를 통과하는 구의 모습을 보여줍니다. 이런 자기 교차를 허용하는 표현을 '임무(immersion)'라고 부릅니다.
임무는 자기 교차 집합(여기서는 단순한 원형 곡선)을 가집니다. 그러나 접선 평면은 연속적으로 변해야 합니다. 위의 그림을 보면, 표면의 일부(초록색으로 표현된 내부)가 바깥쪽으로 끌려나가는 것을 명확히 볼 수 있습니다. 뒤집기를 완성하려면, 이와 같은 적도부의 '관'을 눌러야 합니다. 여기서 문제가 생깁니다: 이 눌림은 접선 평면의 연속성을 파괴할 것이며, 그러한 변환은 더 이상 임무가 아닙니다.
어느 날 미국 수학자 스티븐 스멜이 "구 S2는 오직 하나의 임무 클래스를 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 암시적인 문장은 '표준 구'에서 '대척점 대응' 표현(모든 점이 그 대척점과 교환되는 표현)으로 전환할 수 있으며, 말하자면 '뒤집힌 구'가 가능하다는 것을 의미합니다. 라울 보트는 스멜의 지도교수였습니다. 이 사실의 공식적인 증명이 매우 타당해 보였지만, 누구도 실제로 이 뒤집기 작업을 구현할 수 없었습니다. 보트는 스멜에게 계속해서 "어떻게 하려고 생각하는지 보여주라"고 물었고, 스멜은 유명한 말로 "정말로 전혀 생각이 안 납니다"라고 답했습니다. 이후 스멜은 수학의 노벨상이라 할 수 있는 필드 메달을 받았습니다. 참고로, 왜 수학에는 노벨상이 없는지 궁금하실 수 있습니다. 답은 간단합니다. 그의 아내가 수학자와 도망갔기 때문이죠.
이런 상태는 오랫동안 지속되었고, 1967년 미국 수학자 앤서니 피어슨이 '사이언티픽 아메리칸'에 이 뒤집기의 매우 복잡한 첫 번째 버전을 발표할 때까지 계속되었습니다. 두 번째 버전은 70년대 초 프랑스 수학자(시각 장애인) 베르나르 모린이 개발했습니다. 저는 이 변환의 단계를 처음으로 그렸으며, 이미 말씀드렸듯이 이 내용은 이 사이트에서 곧 발표될 기사의 주제가 될 것입니다. 물론, 이 모든 것은 다음과 같은 생각으로 이어집니다. 표면은 다면체 형태로 표현될 수 있습니다. 정육면체나 정사면체는 같은 위상 구조를 가지므로, 구의 다면체 표현으로 간주할 수 있습니다. 이 점에 대해서는 제 'Topologicon'을 참고하세요. 또한, 구를 뒤집는 것이 가능하다면, 정육면체도 마찬가지로 뒤집을 수 있다는 점을 알 수 있습니다. 베르나르 모린이 개발한 변환은 중심 모델을 거칩니다. 이 과정에는 대칭이 존재합니다. 이를 제가 '4개의 귀를 가진 중심 모델'이라고 부릅니다. 지금은 약간 앞서서 말하고 있지만, 구가 다면체 표현이 가능하듯이, 이 변환의 다음 단계들도 마찬가지로 다면체 표현이 가능합니다. 제가 초기 페이지에서 회전시키는 것은, 약 10년 전 제가 개발한 구 뒤집기 중심 모델의 다면체 버전입니다. 이러한 다면체 모델의 장점은 평면 표면으로 만들 수 있다는 점입니다. 또한 종이와 가위로도 만들 수 있습니다. 아래 그림을 살펴보세요 (여기서는 제 친구 크리스토프 타르디가 적절한 크기의 요소를 제작해 주었다는 점을 감사히 생각합니다).
이것은 조립도의 일반적인 시각입니다. 그러나 인쇄하기 위해서는 '자르기' 페이지로 이동하는 것이 좋습니다. 인쇄하세요. 그런 다음 일반 프린터의 종이에 인쇄된 예시를 가지고, 동일한 복사본을 4장 만들고, 녹색과 노란색 브리스톨지 각각 2장씩 사용하세요. 이 자르는 종이를 이용해 정육면체 뒤집기의 중심 모델을 만들 수 있습니다.
자르는 요소에는 a, b, c, d, e, f 등과 같은 문자 쌍이 있습니다. 동일한 문자가 겹치도록 종이를 접은 후, 투명 테이프로 면을 고정하면 됩니다. 다음 그림들은 네 개의 요소 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 먼저 네 개의 요소 중 하나를 접는 방법입니다:
다음은 서로 다른 각도에서 본 네 개 요소 중 두 개입니다.
이 요소들을 서로 교차하게 배치하여 4차 대칭을 가지는 물체를 만듭니다. 녹색과 노란색 요소가 번갈아 배치됩니다. 3차원으로 보려면, 타르디의 실현된 모델을 '가상 현실' 섹션에서 확인하세요. 이 섹션에서는 중심 모델이 조립되어 있으며, VRML로도 구현되어 있습니다. 아래는 다양한 시점에서 찍은 모델의 모습입니다:
위 아래를 구분할 수 없습니다. 이 명칭은 완전히 임의적이기 때문입니다. 왼쪽 이미지의 중심점은 모린의 중심 모델에서 두 면이 교차하는 '이중점(double point)'에 해당하며, 오른쪽 이미지의 중심점은 동일한 모델에서 네 면이 교차하는 '사중점(quadruple point)'에 해당합니다. 저는 왼쪽 이미지가 십자기(스와스티카)를 연상시키지 않도록 매우 신중하게 물체를 방향을 조정해야 했습니다. 그러나 건축적으로 보면, 이 모린 중심 모델의 다면체 표현은 사회주의 국가 문화관의 훌륭한 프로젝트가 될 수 있었을 것입니다.
마지막으로 한 가지 관찰할 점은, 구(또는 정육면체)의 뒤집기의 좋은 다면체 표현이 존재하지 않는다는 것입니다. 여기서 '좋은'이라는 의미는 위와 같이 비교적 쉽게 자르는 종이로 설명할 수 있는 충분히 명확한 모델의 연속을 말합니다. 이 방향으로 연구를 진행하는 것은 누구나 할 수 있으며, 수학자가 아니더라도 예술가나 조각가도 가능합니다. 20년 전, 저는 아시에-앙-프로방스의 아카데미 데 브뢰 아르의 조각 교사였으며, 그 시절 지도를 맡았던 제 친구 자크 브리에의 지도 아래 있었습니다. 그곳에서 처음으로 보이 표면의 '남북 방향' 표현이 타원을 이용해 만들어졌고, 이는 아페리가 제시한 첫 번째 은함수 방정식의 핵심이 되었습니다. 당시 저는 예술 학생들의 기하학적 상상력이 종종 '기하학자들'보다 뛰어났다는 점에 놀랐습니다.
카운터 설치일: 2001년 12월 31일. 접속 수:
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