중앙 모델(다면체형)의 정육면체 뒤집기
정육면체 뒤집기의 중앙 모델
2001년 12월 31일
홈페이지 왼쪽에 끊임없이 돌아가는 이상한 물체를 모두 보셨을 겁니다. 이건 대체 무엇일까요?
언젠가 시간이 생기면, 1979년 1월 '과학을 위하여' 잡지에 제가 그림으로 설명했던 구의 뒤집기 과정을 이 사이트에 소개할 계획입니다. 그때로부터 이미 22년이나 지났죠. 물론 이 설명은 상세한 설명과 서론이 필요합니다. 구를 뒤집는다는 것이 도대체 무엇을 의미할까요? 일반인과 수학자-기하학자에게 '구'라는 개념은 전혀 다릅니다. 일반인에게는 3차원 공간에서 고정된 점 O로부터 거리 R에 있는 점들의 집합으로 정의됩니다. 기하학자에게는 '변형된 구', 즉 어떤 종류의 '감자'와 같은 물체도 여전히 '구'라고 부릅니다. 이러한 개념들을 더 정확히 이해하고 싶다면, 만화 '톱로지콘'을 담은 CD '랑투르루'를 구입하세요. 그러나 수학자들은 더 나아갑니다. 표면이 '정칙적(regular)'이라면, 그 표면 위의 각 점에서 접선 평면을 정의할 수 있습니다. 이는 초기 구를 무한히 많은 '감자' 형태로 변형할 수 있음을 의미합니다. 또한 표면의 면적은 임의로 변할 수 있습니다. 그러나 현실 세계에서는 구를 변형하는 사람이 구가 스스로를 통과하게 만들 수 없습니다. 만약 이런 통과나 접촉이 금지된다면, 이를 '구 S2의 임베딩'이라 부릅니다. 그러나 수학자에게는 모든 권리가 주어집니다. 수학자에게 구는 '가상의' 물체이며, 표면이 서로 통과하는 것이 가능합니다. 아래의 그림들은 구가 스스로를 통과한 상태를 보여줍니다. 이와 같은 구의 표현을 '임메르션(imersion)'이라 부릅니다.
임메르션은 자기 교차 또는 자기중첩(여기서는 단순한 원형 곡선)의 집합을 가집니다. 접선 평면은 연속적으로 변해야 합니다. 그러나 위의 그림을 보면, 구의 일부(녹색으로 표시된 부분)가 내부에서 외부로 뒤집히는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 뒤집기를 완성하려면, 적어도 적도부분의 '소시지' 형태를 압축해야 합니다. 이는 처음에는 문제가 있어 보입니다. 이 압축은 접선 평면의 연속성을 깨뜨릴 것이며, 따라서 이 과정에는 '임메르션이 아닌 단계'가 포함됩니다.
어느 날 미국 수학자 스티븐 스메일은 "구 S2는 오직 하나의 임메르션 클래스만을 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 신비로운 문장의 함의는, 표준 구에서 그 반대점(antipodal) 표현으로 전환하는 일련의 임메르션을 연결할 수 있다는 것입니다. 즉, 모든 점이 그 반대점으로 바뀐 구, 다시 말해 뒤집힌 구를 의미합니다. 라울 보트는 스메일의 지도교수였습니다. 스메일의 증명은 순수한 수학적 형식으로 완벽해 보였지만, 누구도 어떻게 이를 구현할지 전혀 몰랐습니다. 보트는 스메일에게 계속해서 "어떻게 진행할지 보여줘"라고 말했고, 스메일은 그 유명한 말을 했습니다. "정말로 전혀 생각이 안 나요." 이후 스메일은 수학계의 노벨상이라 할 수 있는 필드상(Fields Medal)을 수상했습니다. 한편, 여러분은 왜 노벨이 수학상이 없었는지 궁금할 수 있습니다. 그 이유는 간단합니다. 그의 아내가 수학자와 떠났기 때문이죠.
이러한 상황은 수년간 그대로 유지되었고, 1967년 미국 수학자 앤서니 필립스가 '사이언티픽 아메리칸'에 뒤집기의 첫 번째 버전을 발표했습니다. 그러나 이 방법은 너무 복잡해서 실용적이지 못했습니다. 이후 1970년대 초, 프랑스 수학자(실명) 베르나르 모린이 두 번째 방법을 개발했습니다. 저는 이 변환 과정의 일련의 그림을 처음으로 그렸으며, 이미 말씀드렸듯이 이 내용은 사이트에서 곧 발표될 다소 방대한 논문의 주제가 될 것입니다. 중요한 결론 하나를 더 덧붙이자면, 표면은 다면체 형태로 표현될 수 있습니다. 정육면체나 정사면체는 이들의 위상이 동일하므로, 구의 다면체 표현으로 간주될 수 있습니다. 이 점에 대해서는 '톱로지콘' 만화를 참고하세요. 또한 구를 뒤집을 수 있다면 정육면체도 뒤집을 수 있다는 점을 이해할 수 있습니다. 베르나르 모린이 개발한 변환 과정(1979년 '과학을 위하여'에 제가 그림으로 설명한 바 있음)은 중앙 모델을 거칩니다. 이 시퀀스에는 대칭이 존재합니다. 이를 '네 귀를 가진 중앙 모델'이라 부릅니다. 다시 말해, 제가 미리 언급한 것입니다. 마찬가지로, 구의 다면체 표현이 가능한 것처럼, 이 변환의 각 단계도 다면체 표현이 가능합니다. 홈페이지에서 돌아가는 물체는 바로 구의 뒤집기 중앙 모델의 다면체 형태이며, 저는 약 10년 전에 이 모델을 개발했습니다. 이러한 다면체 모델의 장점은 평면 표면으로 만들 수 있고, 자르기와 조립이 가능하다는 점입니다. 아래 그림을 살펴보세요(이 그림의 정확한 측정치를 제공해 주신 친구 크리스토프 타르디에게 감사드립니다).
**이 그림은 작게 인쇄되어 사용할 수 없습니다. **
A4용지에 이 그림을 인쇄하려면
A4 두꺼운 종이에 4장 복사본을 만들어야 합니다. 각각 2장은 한 색, 2장은 다른 색입니다.
이것은 전체적인 자르기 도면입니다. 그러나 인쇄하기 전에 자르기 페이지로 이동하는 것이 좋습니다. 그 페이지를 인쇄하세요. 그런 다음 일반 인쇄물로 출력한 원본을 가지고, 사진관에 가서 동일한 그림을 4장 복사하세요. 2장은 녹색 브리스톨지, 2장은 노란색 브리스톨지에 복사하세요. 이렇게 하면, 이 자르기 도면을 이용해 정육면체 뒤집기의 중앙 모델을 만들 수 있습니다.
이 자르기 도면에는 a, b, c, d, e, f 등과 같은 문자 쌍이 있습니다. 같은 문자가 겹치도록 접기를 하고, 투명 테이프로 면들을 붙이면 됩니다. 아래 그림들은 네 개의 요소 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 먼저 네 개 요소 중 하나를 접는 방법입니다.
다음은 서로 다른 각도에서 본 두 개의 요소입니다.
이 요소들은 서로 조합되어 4차 대칭을 가지거나, 녹색과 노란색 요소를 번갈아 배치합니다. 3차원으로 보려면, 타르디 씨의 '가상현실(Virtual Reality)' 작품을 확인하세요. 완성된 중앙 모델은 이 섹션에서 'VRML' 형태로도 제공됩니다. 아래는 이 물체를 다양한 각도에서 본 모습입니다.
왼쪽과 오른쪽의 시각을 '위'와 '아래'라고 부를 수 없습니다. 왜냐하면 이 표현은 완전히 임의적이기 때문입니다. 왼쪽 시각의 중심점은 모린의 중앙 모델에서 두 면이 교차하는 '이중점(double point)'을 나타내며, 오른쪽 시각의 중심점은 동일한 모델에서 네 면이 교차하는 '사중점(quadruple point)'에 해당합니다. 왼쪽 그림이 '크로스 가마'를 연상시키지 않도록 주의 깊게 물체를 방향을 조정했습니다. 그렇지 않으면, 건축적으로 볼 때, 이 모린의 중앙 모델의 다면체 표현은 나치 문화청의 건물 설계로 매우 적합했을 것입니다.
마지막 시각:
마지막으로 한 가지 더 언급하자면, 구의 뒤집기(또는 정육면체의 뒤집기)에 대한 '좋은' 다면체 표현은 존재하지 않습니다. 여기서 '좋은'이란, 위와 같이 비교적 쉽게 자르기 형태로 조립 가능한 충분히 명확한 일련의 모델을 의미합니다. 이에 대한 연구는 누구나 할 수 있으며, 수학자가 아니거나 예술가(예: 조각가)도 참여할 수 있습니다. 20년 이상 전, 저는 아시즈 프로방스의 아카데미 드 브라 아르에서 조각 교사였습니다. 그 시절은 제 우수한 친구 자크 브리에르가 이끌던 시기였습니다. 그곳에서, 아페리가 처음으로 암묵적 방정식을 구하는 데 핵심이 되는 타원을 이용한 보이의 표면의 첫 번째 적도 표현이 탄생했습니다. 당시 저는 예술 전공 학생들의 기하학적 상상력이 종종 기하학자들보다 훨씬 뛰어나다는 점에 항상 놀랐습니다.
카운터 초기화일: 2001년 12월 31일. 접속 수:
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