중앙 모델(다면체형)의 정사각형 뒤집기
정사각형 뒤집기의 중앙 모델
2001년 12월 31일
사이트의 왼쪽 상단에 끊임없이 회전하는 이상한 물체를 모두 보셨을 것입니다. 이는 무엇일까요?
언젠가 시간이 생기면, 제가 1979년 1월 '과학을 위하여'에 소개했던 구의 뒤집기 과정을 사이트에 설명을 추가해 놓을 것입니다. 그때로부터 이미 22년이 지났습니다. 물론 이 설명은 상세한 설명과 서론이 필요합니다. 구를 뒤집는다는 것이 무엇을 의미할까요? 일반인과 수학자-기하학자의 입장에서는 구의 의미가 다릅니다. 일반인에게 구는 3차원 공간에서 고정된 점 O로부터 거리 R에 있는 점들의 집합으로 정의됩니다. 기하학자들은 이와 비슷한 '변형된 구' 또는 '감자' 형태의 물체를 여전히 '구'라고 부릅니다. 이러한 개념들을 더 정확히 이해하려면, 만화 '톱로지콘'을 담은 CD '란툴루'를 구입하는 것이 좋습니다. 그러나 수학자는 더 나아갑니다. 표면이 '정칙적'이라면, 그 표면의 각 점에서 접선 평면을 정의할 수 있습니다. 이로 인해 초기 구의 무수한 변형, 즉 무수한 '감자' 형태의 표면이 가능해지며, 표면의 면적도 임의로 바꿀 수 있습니다. 그러나 현실 세계에서는 구를 변형하는 사람이 구가 스스로를 통과하게 하려는 시도를 할 수 없습니다. 만약 이러한 통과 또는 접촉이 금지된다면, 이를 '구 S2의 임베딩'이라고 부릅니다. 그러나 수학자는 모든 권한을 가집니다. 수학자에게 있어 구는 '가상의' 객체이며, 표면의 통과가 가능합니다. 아래의 그림들은 구가 '자기 자신을 통과'한 상태를 보여줍니다. 이와 같은 구의 표현을 '임머전'이라고 부릅니다.
임머전은 자가교차 또는 자기교차의 집합을 가집니다(여기서는 단순한 원형 곡선). 접선 평면은 연속적으로 변해야 합니다. 그러나 위의 그림을 보면, 구의 일부(녹색으로 표시된 부분)가 내부에서 외부로 뒤집어지는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 뒤집기를 완성하려면, 적도부근의 이와 같은 '줄기'를 압착해야 합니다. 이는 처음에는 문제가 있어 보입니다. 이러한 압착은 접선 평면의 연속성을 깨뜨리게 됩니다. 따라서 이 과정에는 '임머전이 아닌 단계'가 포함됩니다.
어느 날 미국 수학자 스티븐 스메일은 "구 S2는 오직 하나의 임머전 클래스만을 가진다"는 것을 증명했습니다. 이 말의 함의는, 표준 구에서 반대점이 모두 바뀐 '반대점 표현'으로 전환할 수 있는 임머전의 연속을 만들 수 있다는 것입니다. 요컨대, 정면과 뒷면이 바뀐 구를 말합니다. 라울 보트는 스메일의 지도교수였습니다. 스메일의 증명은 순수한 수학적 추론으로 완벽해 보였지만, 누구도 어떻게 이 과정을 구현할지 몰랐습니다. 보트는 스메일에게 계속해서 "어떻게 해야 할지 보여줘"라고 말했고, 스메일은 그 유명한 말을 되풀이하며 "정말로 아무 idea도 없어"라고 답했습니다. 이후 스메일은 수학계의 노벨상이라 할 수 있는 필드 메달을 수상했습니다. 이쯤에서 여러분은 아마도 노벨상에 수학상이 없었던 이유를 궁금해할 것입니다. 답은 간단합니다. 그의 아내가 수학자를 사랑했기 때문입니다.
이런 상태는 수년간 지속되었고, 1967년 미국 수학자 앤서니 필립스가 '사이언티픽 아메리칸'에 이 뒤집기의 첫 번째 버전을 발표했습니다. 그러나 이는 너무 복잡했습니다. 이후 1970년대 초, 프랑스 수학자(실명이 없는) 베르나르 모린이 두 번째 버전을 개발했습니다. 저는 이 변환 과정의 그림을 처음으로 그렸으며, 이미 말씀드렸듯이, 이 내용은 사이트에서 곧 출판될 다소 방대한 논문의 주제가 될 것입니다. 어쨌든, 이로 인해 우리는 부가적인 결론에 도달할 수 있습니다. 표면은 다면체 형태로 표현될 수 있습니다. 정육면체나 정사면체는 이들 물체가 동일한 '위상'을 가지므로, 구의 다면체 표현으로 볼 수 있습니다. 이 점에 대해서는 '톱로지콘' 만화를 참고하시기 바랍니다. 또한, 구를 뒤집을 수 있다면 정육면체도 뒤집을 수 있다는 점을 이해할 수 있습니다. 베르나르 모린이 개발한 변환 과정(1979년 '과학을 위하여'에 제가 그린 것)은 중앙 모델을 거칩니다. 이 시퀀스에는 대칭이 존재하며, 이를 '네 귀를 가진 중앙 모델'이라고 부릅니다. 다시 말해, 저는 미리 예측하고 있습니다. 그러나 구뿐만 아니라, 이러한 변환의 각 단계도 다면체 형태로 표현할 수 있습니다. 제가 사이트의 메인 페이지에서 회전시키는 물체는 바로 구의 뒤집기 중앙 모델의 다면체 형태이며, 약 10년 전 제가 개발한 것입니다. 이러한 다면체 모델의 장점은 평면 표면으로 만들 수 있다는 점입니다. 또한, 자르는 방식으로 조합할 수도 있습니다. 아래의 그림을 살펴보세요(이 그림의 정확한 측정치를 제공해 주신 친구 크리스토프 타르디에게 감사드립니다).
이 그림은 작게 인쇄되어 사용하기 어렵습니다.
A4 두꺼운 종이에 4장의 복사본을 만들어야 합니다. 각각 2장은 한 색상, 2장은 다른 색상입니다.
이것은 전체적인 자르기 도면입니다. 그러나 인쇄하려면 자르기 페이지로 이동하는 것이 좋습니다. 그 페이지를 인쇄하세요. 그런 다음 일반 인쇄물로 인쇄한 원본을 가지고, 복사기 가게에 가서 이 그림을 정확히 4장 복사하세요. 2장은 녹색 브리스톨지, 2장은 노란색 브리스톨지에 복사합니다. 이렇게 하면, 이 자르기 도면을 이용해 정육면체 뒤집기의 중앙 모델을 만들 수 있습니다.
이 자르기 도면에는 a, b, c, d, e, f 등과 같은 글자 쌍이 있습니다. 같은 글자가 겹치도록 접어주고, 투명 테이프로 면들을 붙이면 됩니다. 아래의 그림들은 네 개의 요소 중 하나를 조립하는 방법을 보여줍니다. 먼저 네 개의 요소 중 하나를 접는 방법을 보여줍니다.
다음은 서로 다른 각도에서 본 두 개의 요소입니다.
이 요소들은 서로 조합되어 4차 대칭을 가지거나, 녹색과 노란색 요소를 번갈아 배치하게 됩니다. 이를 3차원으로 보고 싶다면, 타르디 씨의 '가상 현실' 작품을 확인하세요. 이 섹션에서는 완성된 중앙 모델도 VRML 형식으로 제공됩니다. 아래는 이 객체를 다양한 각도에서 본 모습입니다.
위의 그림이 '위'이고 아래의 그림이 '아래'라고 말할 수는 없습니다. 왜냐하면 이러한 명칭은 완전히 임의적이기 때문입니다. 왼쪽 그림의 중심점은 모린의 중앙 모델에서 두 표면이 교차하는 '이중점'에 해당하며, 오른쪽 그림의 중심점은 동일한 모델에서 네 표면이 교차하는 '사중점'에 해당합니다. 저는 왼쪽 그림이 감마 십자가를 연상시키지 않도록 신중하게 물체를 배치했습니다. 그렇지 않으면, 건축적으로 볼 때, 모린의 중앙 모델의 다면체 표현은 나치 문화관의 매우 좋은 설계안이 될 수 있었을 것입니다.
마지막 시점:
마지막으로 한 가지 주의할 점은, 구의 뒤집기(또는 정육면체의 뒤집기)에 대한 '좋은' 다면체 표현이 존재하지 않습니다. 여기서 '좋은'이란, 위와 같이 비교적 쉽게 자르기 형태로 조립할 수 있는 충분히 명확한 모델들의 연속을 의미합니다. 이에 대한 연구는 누구나 할 수 있으며, 수학자가 아니거나 예술가, 예를 들어 조각가도 참여할 수 있습니다. 20년 전, 저는 아시즈 프로방스의 아카데미에서 조각 교사였으며, 그 시절은 제가 매우 좋은 친구였던 자크 브리에르가 이끌던 시기였습니다. 이곳에서 처음으로 '보이의 표면'을 타원으로 표현한 사례가 탄생했으며, 이는 아페리가 첫 번째 암묵 방정식을 구성하는 데 핵심이 되었습니다. 당시 저는 예술 전공 학생들의 기하학적 상상력이 매우 풍부하다는 점에 항상 놀랐습니다. 그들은 종종 기하학자들보다 훨씬 뛰어난 상상력을 지녔습니다.
2001년 12월 31일 초기화됨. 접속 수:
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