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이동군:
2차원 공간 (x,y)를 고려하자. 이러한 공간에서 이동은 이동 벡터 (Dx, Dy)로 정의된다. 보통 다음과 같이 쓴다:
(27)
x' = x + Dx
y' = y + Dy
새로운 값 x'과 y'을 얻기 위해 우리는 덧셈을 사용한다. 과연 이를 곱셈을 통해 동일한 결과를 얻을 수 있을까?
다음 행렬들을 고려해보자:
(28)
이들 행렬이 Dx와 Dy라는 두 개의 독립적인 매개변수로 정의됨을 알 수 있다. 따라서 이 군의 차원은 2이다.
형태:
(29)
이것이 단순한 행렬 곱셈
(30)
g × r
와 본질적으로 다르다는 점에 주목하자.
이는 군의 특별한 작용이다.
(31)
또한, 3차원 또는 4차원 공간에서의 이동을 고려할 수 있다. 해당하는 정사각형 행렬들로 구성된 군은 다음과 같다:
(32)
(33)
해당 작용은 다음과 같다:
(34)
이동군은 교환법칙을 만족한다. 그 항등원은 영이동(0, 0)이다.
행렬 군: 왜 필요한가?
행렬 군을 사용하면 여러 개의 연산을 하나의 작용으로 통합할 수 있다. 다음 행렬들과 작용을 고려해보자:
(35-1)
여기서 두 가지를 결합한다: 각도 a의 회전과 (Dx, Dy)의 이동.
군 G의 원소 g는 공간 r = (x,y)에 "직접적으로" 작용하는 것이 아니라, 더 정교한 방식으로 작용한다.
이 군
(35-2)
는 '특수 유클리드 군 SE(2)'라고 불리며, 2차원 공간에 작용한다. 이 이름은 나중에 설명될 것이다.
그 차원은 무엇인가? 세 개의 자유 매개변수 (a, Dx, Dy)에 따라 결정되므로, 그 차원은 3이다. 다음과 같이 쓸 수 있다:
g ∈ SE(a, Dx, Dy)
부군.
우리에게 군이란 정사각형 행렬들의 집합이다. 이 집합 내에서 부분집합을 찾을 수 있다.
g ∈ SE(0, Dx, Dy)는 이동의 부군이다.
g ∈ SE(a, 0, 0)는 원점 0 주위의 회전 부군이다.
g ∈ SE(0, Dx, 0)는 OX축에 평행한 이동 부군이다.
위의 군은 점들을 이동시킨다. 이러한 점들은 특별한 특성을 갖지 않는다. 단지... 점일 뿐이다.
하지만 나중에는 물리 세계를 묘사하는 다른 군들이 등장할 것이며, 그들은 질량, 에너지, 운동량, 스핀과 같은 '속성'을 가진 점들을 이동시킬 것이다.
위의 군에서는 단지 점들의 집합이 이동시키는 데 관심이 있다. 여기서 핵심 개념인
종류
가 등장한다.
우리의 첫 번째 군은 점들의 집합, 즉 기하학적 도형(‘강체’)을 이동시킨다. 가장 단순한 집합은 두 개의 점으로 이루어진다. 2차원 공간에서 점 쌍을 고려해보자:
(35-3)
그림 (35-3)에서 점 쌍 (A,B)과 (A',B')가 나타나 있다. 점 O 주위의 회전과 이동을 결합함으로써 (A,B)를 (A',B')로 변환할 수 있는 군의 원소를 찾을 수 있다. 그림 (35-4) 참조.
(35-4)
이제 다음 두 점 쌍을 고려해보자:
(35-5)
내 군 G의 원소 g(정사각형 행렬) 중에서 (A,B)를 (A",B")로 옮길 수 있는 것은 존재하지 않는다. 나는 다음과 같이 말할 것이다:
(A,B)와 (A',B')는 같은 종류에 속한다.
(A,B)와 (A",B")는 서로 다른 종류에 속한다.
점 쌍의 종류의 특성은 길이라고 부른다.
이는 군론적 관점에서 길이를 정의하는 것이다.
어떻게 두 선분이 같은 길이임을 주장할 수 있는가? 한 선분을 다른 선분 위에 겹쳐보면 알 수 있다.
우리의 군에서는 길이가 다른 두 선분은 서로 다른 종류에 속한다. 왜냐하면 우리 군은 확대나 축소(동형 변환)를 허용하지 않기 때문이다. 이를 다루는 군은 다른 것이다('특수 카르테시안 군'):
(35-6)
이 군에 대해선 모든 점 쌍이 같은 종류에 속한다. 이 군의 차원은 4이다.
두 점 대신 세 점이나 네 점을 고려할 수도 있다. 예를 들어, 네 점은 사각형을 형성할 수 있다.
(36)
군 (35-1)에 대해, 변의 길이가 같은 사각형들은 같은 종류에 속한다. 하지만 두 사각형의 변이 본질적으로 다르다면:
(37)
그들은 서로 다른 종류에 속한다.
이 군은 평면에서 고정된 점 주위의 회전과 2차원 이동을 조절하는 특수 유클리드 군: SE(2)이다.
우리는 3차원 공간에서 작용하는 유사한 군을 쉽게 상상할 수 있다. 3차원 및 4차원 이동군은 (32), (33)에 제시되었다.
n차원 공간에서의 이동을 묘사하는 군도 쉽게 상상할 수 있다. 하지만 회전은 어떻게 될까?
우리는 3차원 공간에서의 회전을 상상할 수 있으며, 오일러 각도 세 개를 포함하는 행렬로 표현할 수도 있다. 따라서 그 차원은 3이다.
색인 동적 군론