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우리는 분류를 시도한다. 분류는 종의 정의에 기초한다.
동일한 종에 속하는 두 개체는 공통된 성질을 가진다.
-
구 하나, 특별한 하나의 구를 가져오라.
-
이 구를 불변으로 유지하는 대규모군(Euclid 군)의 부분군을 살펴보라. 수리외(Souriau)는 이러한 부분군을 구의
정칙성
이라고 부른다.
- 이 부분군의 작용에 대해 불변인 모든 개체를 찾아라. 주어진 점을 중심으로 하는 모든 구, 그중에서도 반지름이 0인 구—즉 점—까지 포함된다.
그러면 그 점은 "원점 중심의 구들"이라는 종에 속한다.
역으로 말하면:
-
3차원 공간의 한 점을 가져오라.
-
이 점을 불변으로 유지하는 Euclid 군의 부분군을 살펴보라. 그러면 정수군 O(3)을 얻는다.
-
그 부분군의 원소들에 의한, 해당 점 주위의 회전에 대해 불변인 모든 개체를 찾아라. 그러면 그 점을 중심으로 하는 모든 구를 찾게 되고, 이 점과 그 구들이 동일한 종에 속함을 결론지을 수 있다.
직선, 평면, 원기둥 등과 같은 개체들은 특정한 부분군과 연결된 종으로 '구성'될 수 있다.
물리학에서는 기본 입자를 분류하고자 한다. 그러나 당신은 손가락 사이에 입자를 끼워서 확대경으로 관찰할 수 없다. 당신이 관찰할 수 있는 것은 그 입자의 행동, 즉
운동
이다.
내게 네가 어떻게 움직이는지 말해줘, 내가 너의 정체를 알려줄게.
나는 아주 오랜 친구인 장루이 피로쉬(Jean-Louis Philoche)가 있다. 그는 훌륭한 체스 선수다. 그는 눈을 감고도 게임을 할 수 있다(프랑스어로 'jouer à l'aveugle', 체스판을 보지 않고). 단지 한 수의 움직임만 알려주면 된다:
b1-c3
비체스 플레이어가 아닌 사람들을 위해:
(90)
말의 움직임
장루이는 머릿속에 이 모든 것을 기억할 수 있다. 어떻게 하는지 모르지만, 실제로 작동한다. 이는 체스 말이 게임을 하기 위해 필수적인 것은 아니라는 것을 보여준다(컴퓨터도 필요 없다).
방 안에 앉아서 두 이웃이 '어떤 게임'을 하고 있다는 소리를 듣고 있다고 상상해보라. 당신은 그들을 보지 못하지만, 그들이 수를 발표할 때 소리를 듣는다.
b2-b3
b7-b5
그리고 이런 식으로 계속된다...
당신은: 그들은 뭔가를 움직이고 있구나. 이 게임은 무엇일까? 당신은 체스판을 꺼내 작은 돌들을 놓고, 그들의 수를 종이에 차례로 적는다. 열의 인덱스를 C, 행의 인덱스를 L이라 하자. 한 수는 다음과 같이 표현된다:
( ΔC, ΔL )
|ΔC| = 1이고 |ΔL| = 1이면: 이는 왕의 움직임이다.
|ΔC| = |ΔL|이면: 이는 비숍의 움직임(대각선 방향)이다.
|ΔC| × |ΔL| = 0이면: 이는 룩의 움직임이다.
|ΔC × ΔL| = 3이면: 이는 말의 움직임이다.
ΔL이 엄격히 양수이면: 흰색 폰이다. ΔL이 엄격히 음수이면: 검은색 폰이다.
그리고 이런 식으로 계속된다. 우리는 개체들의 행동에 기반하여 '개체'의 분류를 구성한다.
다른 비유를 들어보자. 혼합된 볼트들이 담긴 상자가 있다. 이 볼트들을 분류하고 싶다. 무엇이 필요할까? 서로 다른 너트들이다.
(91)
-
하나의 볼트를 가져오라.
-
그 볼트에 맞는 너트를 찾아라.
-
그 너트에 맞는 모든 볼트를 선택하라. 그러면 하나의 볼트 종이 만들어진다.
정수군 O(3).
위에서 2차원 상황에서 설명한 내용을 3차원으로 확장할 수 있다. 우리는 고정된 점(좌표계의 원점)을 기준으로 3차원 공간에서 회전하는 방법을 알고 있다. 이 회전은 세 각 a, b, g—즉 오일러 각(Euler angles)—에 따라 결정된다. 이러한 행렬을 직접 쓰지 않겠지만, 간단히 다음과 같이 표기한다:
(92)
det(α) = +1
이는 정수 행렬이다:
(92b)
정수군 O(3)은 모든 정수 행렬로 이루어져 있으며, 그 행렬식이 -1인 것들까지 포함된다. 이러한 행렬을 우리는 (93)이라 부른다.
이전 절과 마찬가지로, SO(3)에서 다음을 통해 모든 정수 행렬을 얻을 수 있다:
(94)
L은 대각행렬이다:
(95)
(96)
모든 것은 중복되지만, 이는 즉시 기본 대칭성들을 드러낸다.
(97)
(98)
(98b)
(99)
물체의 방향을 뒤바꾸는 '거울 행렬'들이 존재한다. 이러한 행렬은 물체를 거울 속의 이미지로 변환한다:
(100)
이 거울 대칭에 의해 방향이 뒤바뀌는 방향성을 가진 물체의 예를 제시하라:
(101)
이것은 힐베르트의 학생인 베른어르 보이(Werner Boy)가 고안한 표면이다. 이 흥미로운 물체에 대해서는 수학 섹션에서 특별히 다룰 예정이다. 삼중점 T를 보여주기 위해 표면 일부를 제거했다.
이러한 물체들 중 하나를 '오른쪽' 또는 '왼쪽'이라고 부를 수 있다. 그러나 누군가가 보이의 표면에 대한 '오른쪽 회전' 방향을 정확히 설명한 적은 없다. 어쨌든: 왜 보이의 표면을 돌려야 하는가? 일부는 그것이 날 수 있다고 주장하지만, 나는 의심스럽다.
다음:
(102)
(103)
(104)
2차원 기하학에서와 마찬가지로(원점에 대한 대칭), x축에 대한 대칭은 π만큼의 회전과 동일하다.
마지막으로:
(105)
이것들은 물체의 방향을 바꾸는 것이다.
색인 동적 군 이론
원문(영어)
7
We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
-
Take a sphere, a peculiar sphere.
-
Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the
regularity
of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
-
Take a point of a three-dimensional space.
-
Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
-
Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its
movement
.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90)
Horse's move
Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3
b7-b5
and so on.....
You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( D C ,
D L )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"
based on their behaviour
.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
Orthogonal group
O(3).
We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det (
a
) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
Lbeing the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of
p
.
Finally :
(105)
which change the orientation of objects.
Index Dynamic Groups Theory