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군의 성분에 관하여.
O(2)는 두 개의 성분으로 구성된 군이다:
-
그 중성 성분
(중립 원소 1을 포함하는 하위군 SO(2)). -
나머지 원소들.
O(2)로부터 2차원 유클리드 군을 구성하면:
(112)
이 군은 두 개의 성분을 갖는다. 그 중성 성분은 SO(2)의 원소들로 구성된다.
(113)
이 군을 우리는
특별
유클리드 군이라 부른다. 이 군을 사용하면 'R'과 같은 문자의 방향을 뒤바꿀 수 없다.
두 성분을 모두 갖는 유클리드 군은
완전 군
이라 불린다.
특별 군(완전 유클리드 군의 하위군)에 비해:
(114)
두 문자는 서로 다른 종류에 속한다. 왜냐하면 GSE(또는 SE(2)) 군의 원소 g_EO 중에서 첫 번째 문자를 두 번째 문자로 바꾸거나 그 반대도 할 수 있는 것이 존재하지 않기 때문이다.
반면, 완전 군에 비해 이 두 문자는 같은 종류에 속한다. 왜냐하면 두 번째 성분에 속하는 군 G_E의 원소 g_E(대칭)가 이 두 문자 중 하나를 다른 것으로 바꿀 수 있기 때문이다.
마찬가지로 3차원 유클리드 군(즉, '완전' 유클리드 군):
(115)
두 개의 성분을 갖는다. 첫 번째 성분인
중성 성분
는 SO(3)의 원소들로 이루어진 하위군이다:
(116)
이 중성 성분을 우리는 특별 유클리드 군 SE(3)라 부른다. 이 군에 대해 오른손과 왼손은 서로 다른 종류에 속한다. 왜냐하면 G_SE의 원소 g_SE 중에서 왼손을 오른손으로 바꾸거나 그 반대도 할 수 있는 것이 존재하지 않기 때문이다.
반면 완전 군에 대해서는 이 둘은 같은 종류에 속한다.
간단한 주석:
사람이 거울 속의 자신을 보았을 때, 왼손과 오른손이 서로 바뀌어 보인다. 그런데 왜 머리와 발은 바뀌지 않는가?
이에 대한 답은 프랑스 수학자 J.M. 수리외에 의해 제시된다:
(116b)
또 다른 기술적 주석: 방향이 있는 유클리드 군에서 스칼라 l = ±1을 사용하여 완전 유클리드 군을 구성할 수 있다.
(116c)
l = -1인 원소들은 두 번째 성분에 속하며, 공간을 "역행"시켜 물체를 그 엔티오모르프 이미지로 변환한다.
4차원 PT군으로의 확장.
우선 특수 직교군부터 시작하자:
(118)
그리고 (4,4) 행렬을 이용해 PT군을 구성한다:
(119)
이는 네 개의 성분을 갖는 군이다(l = ±1; m = ±1).
이 군은 다음의 작용을 통해 시공간에 작용한다:
(120)
다음과 같이 쓸 수도 있지만:
(121)
기본 작용이 변하지 않으므로 결과에는 차이가 없다.
이 네 성분 중에서 중성 성분, 즉
(공간 방향성, 시간 방향성)을 갖는 군
(122)
다음과 같다:
(123)
다음과 같은 점에 주목하자:
(124)
g_SOTO는 또한 직교 행렬이다. 직교 행렬은 이 공리적 성질로 정의된다.
우리는 특별한 행렬의 공리적 성질을 훨씬 더 많이 활용할 것이며, 행렬 자체보다는 그 성질에 초점을 맞출 것이다. SO(2) 군의 경우 우리는 행렬을 명시적으로 썼다. 그러나 SO(3)와 O(3)의 경우는 그러지 않을 것이다. 왜냐하면 필요 없고 계산을 불필요하게 복잡하게 만들기 때문이다. 군의 행렬 성질을 공리적으로 사용하는 것이 훨씬 더 효율적이고 우아하다.
예측적으로 다음 행렬을 고려하자:
(125)
여기서:
(126)
대각 행렬 형태로는:
(127)
또한:
(128)
이 행렬들이 군을 이룬다는 것을 보여라.
다음과 같이 고려하자:
(129)
그리고 다음을 구성하자:
(130)
그러면 이러한 일반화된 로렌츠 행렬의 곱은 공리를 만족한다.
역행렬이 군에 속한다는 것을 보여라:
(131)
역행렬을 계산하라.
(132)
(132b)
특수한 경우에 해당한다:
(132c)
이 행렬의 형태는 시공간의 메트릭과 일치한다(앞으로 로렌츠 행렬을 다룰 때 다시 살펴볼 것이다. 상대성 이론 세계를 다루면서).
(133)
는 시공간 벡터이다.
이 연결은 기본 2차 형식에 해당한다:
(134)
여기서:
(134b)
따라서 다음이 성립한다:
(135)
ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct는 '시간 변수'이다.
이는 속도가 제한되지 않는 유클리드 시공간에 해당한다.
인덱스 동적 군 이론
원문 (영어)
9
About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
-
Its neutral component
( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ). -
The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
We call it
Special
Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R.
The Euclid's group with its two components is called the
complete group
.
With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element
g
EO
of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element
g E
of the group G
E ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the
neutral
one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element
g
SE
of G
SE
which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
g
SOTO
is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such
generalized Lorentz matrixes
obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132)
(132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135)
ds 2
= dx°
2
-
dx 2
-
dy 2
-
dy 2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.
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