a4103
| 3 |
|---|
Translatiegroep:
Beschouw een 2-dimensionale ruimte (x,y). In zo'n ruimte wordt een translatie gedefinieerd door een translatievector (Dx,Dy). We schrijven meestal:
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
Om de nieuwe waarden x' en y' te verkrijgen, gebruiken we de optelling. Konden we dezelfde resultaten verkrijgen door een .....vermenigvuldiging ?
Beschouw de volgende matrices:
(28)
We merken op dat ze gedefinieerd worden door twee onafhankelijke parameters Dx en Dy. De dimensie van de groep is dus 2.
Vorm:
(29)
We merken op dat dit fundamenteel verschilt van de eenvoudige matrixvermenigvuldiging
(30) g x r
Het is een speciale actie van de groep.
(31)
Daarnaast kunnen we ook translaties in 3D- of 4D-ruimtes beschouwen. De corresponderende vierkante matrices, die groepen vormen, zijn:
(32)
(33)
De corresponderende actie is:
(34)
De translatiegroep is commutatief. Zijn neutrale element is de nultranslatie.
Matrixgroepen: waarom?
...Met matrixgroepen kunnen we meerdere operaties combineren tot één, tot één actie. Beschouw de volgende matrices en de volgende actie:
(35-1)
...We combineren twee dingen: een rotatie (hoek a), plus een translatie (Dx,Dy).
Het element g van de groep G werkt op de ruimte r = (x,y), niet "direct", maar via een verfijnder "actie". Deze groep
(35-2)
genaamd "Speciale Euclidische groep SE(2)", werkt op de 2D-ruimte. Deze naam wordt later uitgelegd.
Wat is zijn dimensie? Het hangt af van drie vrije parameters: (a, Dx, Dy), dus zijn dimensie is drie. We kunnen het schrijven als:
gSE (a, Dx, Dy)
Subgroepen.
Voor ons is een groep een verzameling vierkante matrices. Binnen deze verzameling kunnen we onderverzamelingen vinden.
gSE (0, Dx, Dy) is de subgroep van translaties. gSE (a, 0, 0) is de subgroep van rotaties rond de oorsprong 0. gSE (0, Dx, 0) is de subgroep van translaties parallel aan de as OX.
De bovenstaande groep draagt punten. Deze punten hebben geen specifieke kenmerken. Ze zijn... gewoon punten, niets meer.
...Maar later zullen andere groepen, die de fysische wereld beschrijven, punten dragen die verschillende kenmerken hebben, "attributen": massa, energie, impuls, spin...
Met de bovenstaande groep zijn alleen verzamelingen van punten interessant om te transporteren. Hier komt het fundamentele concept van:
Soort.
...Onze eerste groep draagt geometrische objecten, die verzamelingen van punten zijn, geometrische ("harde") figuren. Het eenvoudigste verzameling bestaat uit twee punten. Beschouw paren punten in een 2D-ruimte:
(35-3)
...Op figuur (35-3) zijn twee paren punten (A,B) en (A',B') getekend. Ik kan een element van de groep vinden dat (A,B) omzet in (A',B'): door een rotatie rond punt O en een translatie te combineren. Zie figuur (35-4).
(35-4)
Beschouw nu de twee paren:
(35-5)
Het is onmogelijk om een element g (vierkante matrix) van mijn groep G te vinden dat (A,B) op (A",B") kan transporteren. Ik zal zeggen dat:
(A,B) en (A',B') tot dezelfde soort behoren.
(A,B) en (A",B") behoren tot verschillende soorten.
Het kenmerk van een soort van paren punten wordt lengte genoemd.
Dit is de definitie van lengte in termen van groepentheorie.
...Hoe kunt u bevestigen dat twee segmenten dezelfde lengte hebben? Omdat u ze kunt vergelijken, door er één op de andere te leggen.
...In onze groep behoren twee segmenten met verschillende lengtes tot verschillende soorten, omdat onze groep geen uitbreidingen of contracties toelaat (homothetische transformaties). De groep die dat regelt is een andere groep ("Speciale Cartesiaanse groep"):
(35-6)
Met betrekking tot deze groep vormen alle paren punten dezelfde soort. De dimensie van deze groep is vier.
In plaats van twee punten, kunnen we drie of vier punten beschouwen, die bijvoorbeeld vierkanten vormen.
(36)
...Met betrekking tot de groep (35-1) behoren vierkanten waarvan de zijden dezelfde lengte hebben tot dezelfde soort. Maar als de zijden van twee vierkanten fundamenteel verschillend zijn:
(37)
ze behoren tot verschillende soorten.
Deze groep, die 2D-translaties en rotaties rond een vast punt in een vlak regelt, is de speciale Euclidische groep: SE(2).
Nu kunnen we gemakkelijk een vergelijkbare groep bedenken die werkt op een 3D-ruimte. De groepen van 3D- en 4D-translaties zijn gegeven in (32) en (33).
We kunnen gemakkelijk een groep bedenken die translaties in een n-dimensionale ruimte beschrijft. Maar wat met rotaties?
...We kunnen een rotatie in een 3D-ruimte bedenken. We kunnen deze zelfs schrijven met een matrix die drie hoeken bevat, de Euler-hoeken: dus zijn dimensie drie.
Index Dynamische Groepentheorie
Oorspronkelijke versie (Engels)
a4103
| 3 |
|---|
Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.