a4104
| 4 |
|---|
Orthogonale matrices. Orthogonale groepen.
Beschouw een vierkante matrix a. De getransponeerde matrix komt overeen met het verwisselen van de termen die symmetrisch zijn ten opzichte van de diagonaal, zoals aangegeven in de figuur:
(38)
We noteren de inverse matrix a-1
Zij voldoet aan de relatie:
a × a-1 = 1
Vanaf nu zullen we het maalteken × niet meer noteren en simpelweg schrijven: a a-1 = 1. Wanneer twee vetgedrukte letters naast elkaar staan, beschouwen we dat automatisch als het product van twee matrices.
Een orthogonale matrix is een matrix waarvan de inverse samenvalt met haar getransponeerde.
(38b)
Men kan aantonen dat:
(38c)
waaruit volgt dat de determinant van een orthogonale matrix gelijk is aan ± 1.
Zij zijn orthogonale matrices van willekeurige rang (n,n). Zij vormen groepen
O(n) O(n) is de verzameling van orthogonale matrices (n,n).
Beschouw de matrices:
(39)
Zij zijn orthogonale matrices, waarvan de determinant is:
det ( g) = +1
Het is een ondergroep van de orthogonale groep O(2), genaamd het « speciale orthogonale groep » SO(2).
We hebben een orthogonale groep O(3), samengesteld uit (3,3)-orthogonale matrices, waarvan de determinant = ± 1. Deze bezit een ondergroep SO(3), bestaande uit orthogonale matrices waarvan de determinant +1 is.
In vier dimensies: we hebben de orthogonale groep O(4) en haar ondergroep: de speciale orthogonale groep SO(4).
n dimensies: orthogonale groep O(n), samengesteld uit (n,n)-orthogonale matrices, waarvan de determinant ± 1 is. Deze bezit een ondergroep genaamd het speciale orthogonale groep SO(n), beperkt tot orthogonale matrices waarvan de determinant +1 is.
Men kan aantonen dat de dimensie van een orthogonale groep gelijk is aan (40)
Toepassing op de tweedimensionale ruimte: de dimensie van de groep is 1.
Toepassing op de driedimensionale ruimte: de dimensie van de groep is drie (de drie Euler-hoeken).
Toepassing op de vierdimensionale ruimte: de dimensie wordt zes.
Wij hebben de georiënteerde speciale euclidische groep SE(2) geïntroduceerd:
(41)
Die rotaties en translaties combineert.
Noem:
(42)
Dan kunnen we de matrix en haar werking op de ruimte schrijven:
(43)
Opmerking:
(44)
In onze tweedimensionale vlakke ruimte, in ons vlak, vinden we objecten zoals:
(45)
Bekijk deze bijzondere objecten:
(46)
Zij behoren tot eenzelfde soort. Als ik een willekeurig paar van deze objecten neem, kan ik een element van de groep vinden dat het eerste op het tweede brengt, en omgekeerd.
Het tweede deel van objecten:
(47)
behört tot een andere soort.
Ook het derde:
(48)
Maar:
(49)
Ik kan geen combinatie van rotatie a plus translatie c vinden die van het ene naar het andere overgaat.
Kunnen we de georiënteerde euclidische groep aanpassen zodat dit mogelijk wordt?