a4105
| 5 |
|---|
Symmetrieën.
(49b)
Wat betekent dit?
Beschouw een groep bestaande uit vier elementen (een "discrete groep").
(50)
die ik kan schrijven als:
(51)
De overeenkomstige actie is:
(52)
Het is duidelijk dat deze de x-coördinaat, de y-coördinaat, of beide kan omkeren.
Schematisch:
(53)
(54)
(55)
(56)
We kunnen nu de matrix opstellen:
(57)
We kunnen controleren dat deze verzameling matrices een groep vormt.
Hun determinant is:
(58)
det ( a ) = l m ( cos² a + sin² a ) = l m = ±1
Controleer of de inverse matrix is:
(59)
(60)
(61) Dus:
(62)
waaruit volgt:
(63)
...SO(2) (de zogenaamde speciale orthogonale groep) is een deelgroep van O(2) (de zogenaamde orthogonale groep) en we kunnen de matrices a vormen uit de matrices a door:
(64)
Terzijde: veel van deze matrices zijn redundant. Bijvoorbeeld, als
(64b)
(65)
wat betekent dat het veranderen van ( x → -x ; y → -y ) equivalent is aan een rotatie over p. Zie de volgende figuur.
(66)
We weten dat matrices:
(67)
overeenkomen met een eenvoudige rotatie rond de oorsprong O van het coördinatenstelsel.
Wat is de betekenis van algemenere matrices:
(68)
Uit:
(69)
weten we dat a overeenkomt met twee gecombineerde operaties:
- Een symmetrie ten opzichte van de as OX, of OY, of beide.
- Een rotatie a rond de oorsprong van het coördinatenstelsel.
(70)
Op de figuur is de volgorde van de twee operaties weergegeven
( M1 ----> M4 )
Het is duidelijk dat dit equivalent is met een symmetrie ten opzichte van een rechte door O
(71)
...We hebben de "speciale orthogonale groep" SO(2) verrijkt, die het uitgangspunt was van de "orthogonale groep" O(2). Zo ontdekten we dat deze uitgebreide groep spiegelsymmetrieën bevat: alle symmetrieën ten opzichte van rechten door de oorsprong O van het coördinatenstelsel.
(72)
Index Theorie van dynamische groepen
Oorspronkelijke versie (Engels)
a4105
| 5 |
|---|
Symmetries.
(49b)
What does it mean ?
Consider a group composed by four elements ( a "discrete group" ).
(50)
that I can write :
(51)
The corresponding action is :
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically :
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix :
(57)
We can check such set of matrixes form a group.
Their determinant is :
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Check the inverse matrix is :
(59)
(60)
(61) So that :
(62)
whence :
(63)
...SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrixes **a **from the matrixes a through :
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing ( x ---> - ; y ---> -y ) is equivalent to a rotation of p . See next figure.
(66)
We know that matrixes :
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrixes :
(68)
From :
(69)
we know that a corresponds to two combined operations :
- A symmetry with respect to axis OX , or OY , or both.
- A rotation a around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
( M1 ----> M4 )
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
...We have enriched the "special orthogonal group " SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discovers that this extended group contains mirror-symmetries : all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)