a4106
| 6 |
|---|
Componenten van een groep.
We hebben twee groepen beschouwd: SO(2) en O(2). De tweede bevat de eerste.
De eerste bevat het neutrale element. We kunnen de elementen van de groep als volgt voorstellen:
(73) .
De elementen van de eerste component vormen een groep (een deelgroep).
De elementen van de tweede component vormen geen groep, om diverse redenen:
- Het bevat niet het neutrale element 1.
- We kunnen twee matrices kiezen uit deze tweede component waarvan het product niet tot deze tweede component behoort. Voorbeeld:
(74)
De component van de groep die het neutrale element 1 bevat, wordt de
neutrale component van de groep genoemd.
In het vervolg zullen we groepen beschouwen met 2, 4 of 8 componenten.
De Euclidische groep.
We kunnen nu deze uitgebreide, verrijkte groep integreren met translatie in 2D, en krijgen:
(75)
en de bijbehorende actie van deze Euclidische groep:
(76)
Stel dat we onze groep gebruiken om alfabetische letters te manipuleren, te beheren, te bestuderen.
Beperk de verzameling tot: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We hebben verschillende maten:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We weten dat het onmogelijk is een element van de groep of een latere actie van de groep te vinden die kan transformeren:
G in G
omdat hun maten verschillend zijn. We besluiten hun maten massa’s te noemen, zodat G en G vergelijkbaar zijn met deeltjes, objecten, atomen, die verschillende massa’s bezitten. Nu hangt het af van de groep die op deze verzameling objecten werkt. Als ik gebruik:
(78)
stel dat deze "wereld" gevuld is met:
(79)
met een bepaald spectrum van maten (massa’s) en hoeken. Als ik groepsacties toepas, hoe dan ook, zal ik nooit objecten vinden die behoren tot het Russische alfabet:
(80)
Dit wordt mogelijk als ik de verrijkte groep, de Euclidische groep, gebruik:
(80b)
Dan wordt mijn "wereld":
(81)
De groep heeft het "zoo" van letters verrijkt. Maar in mijn zoo is één element symmetrie-invariant, dat wil zeggen:
(82)
(83)
(84)
(85)
...Over het algemeen verandert elke symmetrie ten opzichte van een rechte in het vlak, die een "2D-spiegel" is, niet de "aard" van dit karakter
(86)
Ik zal dit karakter een "foton" noemen en de transformatie
(87)
gelijkstellen aan de dualiteit materie-antimaterie. Dan krijg ik een globaal zoo:
(88)
We konden letters met dezelfde vorm (aard) maar verschillende maten (die hun energie vertegenwoordigen) verbinden, door gebruik te maken van de groep van Descartes:
(89)
...Maar we zullen geen volledig analogisch model bouwen van elementaire deeltjes gebaseerd op alfabetische tekens. Toch begin je te zien waar we naartoe gaan. Groepen hebben zeer eenvoudige aspecten, maar verborgen eigenschappen. Deze eigenschappen hangen af van hun deelgroepen, die de soorten genereren.
...De Euclidische groep gaat gepaard met een Euclidisch wereldbeeld, met een Euclidisch zoo. De dieren van de euclidische meetkunde heten bol, cilinder, prisma’s, vlak, rechte lijn, driehoeken, enzovoort. Ze zijn invariant onder actie van bepaalde deelgroepen. Souriau noemt de deelgroep die gekoppeld is aan een object dat tot een soort behoort, de regelmatigheid van dat object.
Bijvoorbeeld: bollen met middelpunt in een gegeven punt O zijn invariant onder de actie van de deelgroep van rotaties rond dit punt.
-
We kunnen beschouwen dat het feit dat iets invariant is, een eigenschap is van de soort genaamd "bollen met middelpunt in een punt O".
-
Omgekeerd kunnen we beschouwen dat deze eigenschap de soort definieert.
Index Theorie van dynamische groepen
Oorspronkelijke versie (Engels)
a4106
| 6 |
|---|
Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
-
Conversely we can consider that this property *defines *the species.