a4107
| 7 |
|---|
We zoeken naar classificatie. Classificatie is gebaseerd op de definitie van een soort.
Twee objecten die tot dezelfde soort behoren, hebben een gemeenschappelijke eigenschap.
- Neem een bol, een bepaalde bol.
- Bekijk het ondergroep van het grote groep (Euclidische groep) dat deze bol invariant laat. Souriau noemt deze ondergroep de regelmatigheid van een bol.
- Zoek alle objecten die invariant zijn onder de actie van deze ondergroep. Je vindt alle bollen die gecentreerd zijn op een gegeven punt, inclusief de bol met straal nul: het punt.
Het punt behoort dus tot de soort van "bollen gecentreerd op de oorsprong".
Omgekeerd:
- Neem een punt in een driedimensionale ruimte.
- Bekijk de ondergroep van de Euclidische groep die dit punt invariant laat. Je vindt de orthogonale groep O(3).
- Zoek vervolgens alle objecten die invariant zijn onder de actie van de elementen van deze ondergroep, onder rotatie rond dit punt. Je vindt alle bollen die gecentreerd zijn op dit punt en concludeert dat dit punt en al deze bollen tot dezelfde soort behoren.
Objecten zoals een rechte lijn, een vlak, een cilinder, enzovoort, kunnen "opgebouwd" worden als een soort die gekoppeld is aan een bepaalde ondergroep.
...In de natuurkunde willen we elementaire deeltjes classificeren. Maar je kunt een deeltje niet tussen duim en wijsvinger nemen en er met een vergrootglas naar kijken. Je kunt alleen het gedrag observeren, zijn beweging.
Zeg me hoe je beweegt, dan vertel ik je wie je bent.
...Ik heb een oude vriend, Jean-Louis Philoche, die een uitstekende schaker is. Hij kan blind spelen (in het Frans "jouer à l'aveugle", zonder het bord te zien). Je hoeft alleen maar de zet van een stuk aan te geven:
b1-c3
Voor niet-spelers:
(90) Zet van de paard
...Jean-Louis is in staat om dit alles in zijn hoofd te onthouden. Ik weet niet hoe hij het doet, maar het werkt. Dit bewijst dat schaakstukken niet nodig zijn om te spelen (een computer heeft er geen behoefte aan).
...Stel je voor dat je in een kamer zit en twee buren hoort spelen "een of ander spel". Je ziet ze niet, maar je hoort wanneer ze hun zetten aankondigen.
b2-b3 b7-b5 enzovoort...
...Je denkt: ze verplaatsen iets. Welk spel is dit? Je neemt een bord, legt kleine stenen erop en noteert hun opeenvolgende zetten op een vel papier. Noem C de kolomindex en L de rijindex. Een zet komt overeen met:
( DC , DL )
Als |DC| ≤ 1 en |DL| ≤ 1: dit komt overeen met een koningszet.
Als |DC| = |DL|: dit komt overeen met een loperzet (langs een diagonaal).
Als |DC| × |DL| = 0: dit komt overeen met een torenzet.
Als |DC × DL| = 3: dit komt overeen met een paardzet.
Als DL strikt positief is: dit komt overeen met een witte pion. Als DL strikt negatief is: dit komt overeen met een zwarte pion.
Enzovoort. We bouwen een classificatie van "objecten" op basis van hun gedrag.
Een andere afbeelding. Je hebt een doos met door elkaar gemengde bouten. Je wilt deze classificeren. Wat heb je nodig? Verschillende moeren.
(91)
- Neem een bout.
- Zoek de moer die erbij past.
- Selecteer alle bouten die passen bij deze moer. Je krijgt een soort bouten.
**Orthogonale groep **O(3).
...We kunnen wat hierboven in 2D werd gezegd uitbreiden naar de 3D-context. We weten hoe we een rotatie kunnen uitvoeren in een driedimensionale ruimte, ten opzichte van een vaste punt, het coördinaten-nulpunt. Deze rotatie hangt af van drie hoeken a, b, g, ook wel Euler-hoeken genoemd. We zullen zo’n matrix niet opschrijven, maar we noteren hem simpelweg als:
(92)
det (a) = +1
Het is een orthogonale matrix:
(92b)
...De orthogonale groep O(3) bestaat uit alle orthogonale matrices, inclusief die waarvan de determinant gelijk is aan -1. We noemen deze matrices (93)
Zoals in de vorige sectie kunnen we alle orthogonale matrices afleiden uit SO(3) via:
(94)
L is de diagonaalmatrix:
(95)
(96)
Al dit alles is redundant. Maar het maakt direct de fundamentele symmetrieën zichtbaar.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Er zijn "spiegelmatrices" die de oriëntatie van objecten omkeren, en deze objecten transformeren in hun spiegelbeeld:
(100)
Geef een voorbeeld van een georiënteerd object waarvan de oriëntatie wordt omgekeerd door deze spiegelsymmetrie:
(101)
...Dit is de oppervlak dat werd uitgevonden door Werner Boy, een leerling van Hilbert. Aandacht zal worden besteed aan dit interessante object in de sectie van de site gewijd aan wiskunde. We hebben een deel van het oppervlak verwijderd om het drievoudige punt T te tonen.
...Je kunt één van deze objecten "rechts" of "links" noemen. Niemand heeft ooit aangegeven welke rotatiebeweging "rechts" is voor het oppervlak van Boy. Hoe dan ook: waarom zou je een oppervlak van Boy laten draaien? Sommigen beweren dat het kan vliegen, maar ik ben sceptisch.
Verder:
(102)
(103)
(104)
...Zoals in de 2D-geometrie (symmetrie ten opzichte van de oorsprong) is de symmetrie ten opzichte van de x-as equivalent aan een rotatie over π. Ten slotte:
(105)
wat de oriëntatie van objecten verandert.