a4109
| 9 |
|---|
Over de componenten van de groep.
O(2) is een groep die bestaat uit twee componenten:
- Zijn neutrale component (een deelgroep SO(2) die het neutrale element 1 bevat).
- De rest van de elementen.
Als we een tweedimensionale euclidische groep vormen uit O(2):
(112)
dan heeft deze groep twee componenten. Zijn neutrale component bestaat uit de elementen van SO(2).
(113)
...
We noemen dit de speciale euclidische groep: met deze groep kunnen we de oriëntatie van een "letter", zoals R, niet omkeren. De tweecomponentige euclidische groep heet de volledige groep.
... Met betrekking tot de speciale groep, de deelgroep van de volledige euclidische groep:
(114)
behoren tot twee verschillende soorten, omdat er geen element gEO bestaat in deze groep GSE (of SE(2)) dat de eerste letter kan omzetten in de tweede, en omgekeerd.
... Met betrekking tot de volledige groep behoren deze twee letters tot dezelfde soort, omdat er een element gE bestaat in de groep GE (symmetrie, behorend tot de tweede component) dat één van deze twee letters in de andere kan omzetten.
Evenzo heeft de driedimensionale euclidische groep (de volledige euclidische groep):
(115)
twee componenten. De eerste, de neutrale component, is een deelgroep gevormd door de elementen van SO(3):
(116)
...We noemen deze neutrale component de speciale euclidische groep SE(2). Met betrekking tot deze groep behoren een rechterhand en een linkerhand tot verschillende soorten, omdat er geen element gSE bestaat in GSE dat een linkerhand kan omzetten in een rechterhand, en omgekeerd.
Met betrekking tot de volledige groep behoren ze tot dezelfde soort.
Een korte opmerking:
Wanneer een man zijn spiegelbeeld bekijkt, ziet hij dat zijn linkerhand en rechterhand zijn verwisseld. Maar waarom zijn zijn hoofd en voeten niet ook verwisseld?
Het antwoord wordt gegeven door de Franse wiskundige J.M. Souriau:
(116b)
Een andere, technischere opmerking. Vanuit de gerichte euclidische groep is het mogelijk om de volledige euclidische groep te construeren, met behulp van een scalaire l = ± 1
(116c)
de elementen waarvoor l = -1 behoren tot de tweede component en "verwisselen de ruimte", waardoor objecten worden omgezet in hun enantiomorfe afbeeldingen.
Uitbreiding naar de 4-dimensionale PT-groep.
Laten we beginnen bij de speciale orthogonale groep:
(118)
en bouwen vervolgens de PT-groep op met behulp van (4,4)-matrices:
(119)
Het is een groep met vier componenten (l = ±1; m = ±1).
Deze groep werkt op ruimtetijd via de volgende actie:
(120)
Merk op dat we het ook kunnen schrijven als:
(121)
Maar dit verandert niets, omdat de fundamentele actie onveranderd blijft.
Van deze vier componenten hebben we de neutrale component, de ruimte- en tijdsgerichte groep.
(122)
We hebben:
(123)
Merk op dat:
(124)
gSOTO is ook een orthogonale matrix. Orthogonale matrices worden gedefinieerd door deze axioma-tische eigenschap.
... Merk op dat we de axioma-tische eigenschappen van specifieke matrices veel vaker zullen gebruiken dan de matrices zelf. Bij de groep SO(2) hebben we expliciet de matrices geschreven. Maar voor SO(3) en O(3) zullen we dat niet doen, omdat het niet nodig is en de berekeningen onnodig complex zou maken. Het is veel efficiënter en eleganter om de axioma-tische eigenschappen van de matrixen van de groep te gebruiken.
Vooruitlopend overwegen we de matrices gedefinieerd door:
(125)
waarbij:
(126)
In diagonaalmatrixvorm:
(127)
Daarnaast:
(128)
Toon aan dat deze matrices een groep vormen.
Overweeg:
(129)
en vorm:
(130)
Het product van deze veralgemeende Lorentz-matrices voldoet dan aan het axioma.
Toon aan dat de inverse matrix tot de groep behoort:
(131)
Bereken de inverse matrix.
(132) (132b)
correspondeert met het bijzondere geval:
(132c)
... De vorm van deze matrix komt overeen met de metriek van ruimtetijd (zoals we nogmaals zullen zien, met Lorentz-matrices verderop, bij het bespreken van de relativistische wereld).
(133)
met een ruimtetijdvector
De relatie komt overeen met de elementaire kwadratische vorm:
(134)
met:
(134b)
dit geeft:
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct is een "chronologische variabele".
Dit komt overeen met een euclidische ruimtetijd, waarin de snelheid:
(136)
onbeperkt is.
Index Theorie van Dynamische Groepen
Oorspronkelijke versie (Engels)
a4109
| 9 |
|---|
About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
- Its neutral component ( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ).
- The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
...We call it Special Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R. The Euclid's group with its two components is called the *complete group *.
...With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element gEO of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
...With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element gE of the group GE ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the neutral one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
...We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element gSE of GSE which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
gSOTO is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
...Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such generalized Lorentz matrixes obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132) (132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
... The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135) ds2 = dx°2 + dx2 + dy2 + dy2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.