groepen en fysica co-adjointe actie impuls
| 7 |
|---|
Een element gp van de Poincaré-groep Gp wordt gedefinieerd door een reeks parameters {pi}, waarvan het aantal, zoals we al hebben gezegd, de dimensie van de groep vertegenwoordigt. De matrix dg (g = e) bestaat uit de grootheden {dpi}. De bovenstaande afbeelding is dus van de vorm:
(81)
Met andere woorden, aan een verzameling scalairen dpi correspondeert een even grote hoeveelheid scalairen dpi'. De dualiteit berust op de veronderstelling van de invariantie van een scalaire, volgens:
(82)
waarbij n de dimensie van de groep is (tien voor de Poincaré-groep). De scalairen Ji vertegenwoordigen de componenten van de impuls, met evenveel aantal.
We besluiten deze impuls J te ontleden in twee objecten. Het eerste is een antisymmetrische matrix M van formaat (4,4), dus met zes componenten, en het tweede een "viervector" P, een matrix van formaat (4,1):
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } We schrijven het scalair product in de vorm:
(85)
waarbij Tr "trace van" betekent, en we hebben nog:
(86)
een lineaire vorm waarvan de invariantie de dualiteit waarborgt.
met:
(87) (87b)
(87c)
maar GG = 1, dus dit is gelijk aan:
(88)
Identificeer de termen in y (89)
Dit wil zeggen:
(90)
----> Hier volgen opnieuw details van matrixberekeningen. Als u wilt, klikt u hier om direct naar het resultaat te gaan.
In de trace kan men een circulaire permutatie van de termen uitvoeren.
(90a)
(90b)
(90c)
het tweede lid is gelijk aan het product van een rijmatrix met een kolommatrix.
Dit is gelijk aan de trace van het omgekeerde product (hier schematisch, het product van een rijmatrix met een kolommatrix):
(90d)
In deze trace kan ik een circulaire permutatie uitvoeren:
(90e)
Hieruit volgt:
(90f)
(90g)
Hier passen we opnieuw het theorema toe over de sporen van matrices die het product zijn van een andere matrix met een symmetrische matrix.
Elke matrix kan worden gemaakt symmetrisch of antisymmetrisch. Bovendien is de trace van het product van een matrix met een symmetrische matrix nul.
(90h)
Ik kan dit toepassen op de matrix (90i), omdat we de trace nemen
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
maar:
(90l)
dus
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
en:
(90q)
uiteindelijk:
(90r)
Door termen te groeperen en de accenten aan de andere kant te plaatsen, verkrijg ik mijn groepsactie:
Afbeeldingen
