Wiskunde meetkunde transformatie oppervlakken

Hoe een Cross Cap-oppervlak te transformeren in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze)

via het Steiner-romische oppervlak.

Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome

../../Crosscap_Boy1.htm

27 september - 25 oktober 2003

pagina 1

Zoals Kipling zou zeggen, vereist dit "grote list en magische kracht".

Ik ben met pensioen, maar ik mag wel zeggen dat ik toch een beetje onderzoek doe, net als anderen in hun vrije tijd breien. Als u geduld hebt en karton van 200 g/m² met rooster aanschaft, kunt u zelf al deze modellen reconstrueren. Mijn vriend Christophe Tardy bouwt er een animatie van, die hopelijk goed uitkomt.

Het Cross Cap-oppervlak zal in de volgende tekeningen verschijnen, net als het Steiner-romische oppervlak. U kunt ze echter ook ontdekken via de sectie Virtual Reality, waarvoor u het programma Cosmoplayer op uw computer moet installeren. Doe dat, het is echt leuk. Alles draait om de "spitsen". Deze ontstaan natuurlijk wanneer u op een paard zit en uw benen stevig dichtknijpt. Het lichaam van het paard wordt dan langs een lijnstuk samengedrukt. Het rechterbeen zal dan langs dat lijnstuk aan de rechter schouder vastzitten, het linkerbeen aan de linker schouder. Wat de spitse betreft: zoek hem niet op; u zit er gewoon op.

Maar alles is hier... ronder getekend. Laten we overgaan op een "polyhedrale representatie" van de spitse (zoals een kubus of tetraëder een polyhedrale representatie van een gewone bol kunnen zijn). De vetgedrukte lijn stelt de "zelfintersectiecurve" voor, die eindigt in de spitse C.

Druk deze platen af, dat is beter. In het vervolg moet u in staat zijn een spitse te herkennen in "verschillende configuraties" en deze niet te verwarren met een gewone hoek van een polyhedron. Bouw, als u het durft, deze objecten uit karton, dan begrijpt u het beter. Hieronder zien we een essentiële bewerking, genaamd "creatie-ontbinding van een paar spitten". Het eerste tekening stelt een soort cilinder voor die zichzelf snijdt langs het vetgedrukte lijnstuk, waarvan de doorsnede de omgekeerde Griekse letter gamma lijkt. We vervormen deze oppervlak door het buisvormige gedeelte "te knijpen", waarvan de doorsnede lijkt op een omgekeerde traan. Hierdoor verandert deze "traan" in een punt S. Vervolgens splitst dit punt zich, waardoor twee spitten ontstaan. Dit is de bewerking van het creëren van een paar spitten. Het omgekeerde proces vernietigt twee spitten. Direct onder vindt u de polyhedrale versie van deze bewerking.

Hieronder een andere polyhedrale representatie van de transformatie, die lijkt op wat u binnenkort zult zien ontstaan op het oppervlak.

Vorige pagina

Terug naar index "Transformatie van een Cross Cap naar Boy"

Terug naar sectie Nieuws Terug naar sectie Gids Terug naar Hoofdpagina

Aantal bezoeken vanaf 25 oktober 2003:

Afbeeldingen