Wiskunde meetkunde transformatie oppervlakken

Hoe een Cross Cap-oppervlak om te zetten in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze)

via het Steiner-romische oppervlak.

Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome

../../Crosscap_Boy1.htm

27 september - 25 oktober 2003

pagina 1

Zoals Kipling zou zeggen, vereist dit "grote list en magische kracht".

Ik ben met pensioen, maar ik mag zeggen dat ik toch nog een beetje onderzoek doe, net als anderen in hun vrije tijd breien. Als u geduld hebt en karton van 200 g/m² met rooster aanschaft, kunt u zelf al deze modellen reconstrueren. Mijn vriend Christophe Tardy bouwt er een animatie van, die er goed uit moet zien.

Het Cross Cap-oppervlak zal in de volgende tekeningen verschijnen, net als het Steiner-romische oppervlak. Maar u kunt ze ook ontdekken via de sectie Virtual Reality, waarvoor u het programma Cosmoplayer op uw computer moet installeren. Doe dat, het is echt leuk. Alles draait om de "spitsen". Deze ontstaan natuurlijk wanneer u op een paard zit en uw benen stevig dichtknijpt. Het lichaam van het paard wordt dan langs een lijnstuk samengedrukt. Het rechterbeen zal langs dat lijnstuk aan de rechterschouder vastzitten, het linkerbeen aan de linkerschouder. Wat de spits zelf betreft, zoekt u hem niet: u zit er gewoon op.

Maar dit alles is... ronder getekend. Laten we overgaan op een "polyhedrale representatie" van de spits (zoals een kubus of tetraëder een polyhedrale representatie van een gewone bol kunnen zijn). De vetgedrukte lijn vertegenwoordigt de "zelfintersectielijn", die eindigt in de spits C.

Afdrukken van deze tekeningen is beter. In het vervolg moet u in staat zijn om een spits te herkennen in "verschillende configuraties" en deze niet te verwarren met een gewone hoek van de polyhedron. Bouw, als u het durft, deze objecten uit karton, dan begrijpt u het beter. Hieronder hebben we een essentiële bewerking, genaamd "creatie-ontbinding van een paar spitten". Het eerste tekening stelt een soort cilinder voor die zichzelf snijdt langs het vetgedrukte lijnstuk, waarvan de doorsnede lijkt op de omgekeerde Griekse letter gamma. We vervormen deze oppervlak nu door het buisvormige gedeelte "te knijpen", waarvan de doorsnede lijkt op een omgekeerde traan. Hierdoor verandert deze "traan" in een punt S. Vervolgens splitst dit punt zich op, waardoor twee spitten ontstaan. Dit is de bewerking van het creëren van een paar spitten. Het omgekeerde proces, daarentegen, vernietigt twee spitten. Direct onder deze tekst vindt u de polyhedrale versie van deze bewerking.

Hieronder een andere polyhedrale representatie van de transformatie, die lijkt op wat u binnenkort in het oppervlak zult zien ontstaan.

Volgende pagina

Terug naar index "Transformatie van een Cross Cap naar Boy"

Terug naar sectie Nieuws Terug naar sectie Gids Terug naar Hoofdpagina

Aantal bezoeken vanaf 25 oktober 2003 :

Afbeeldingen