Oppervlakte van Boy, polyhedrisch model, Romeinse oppervlakte van Steiner

Hoe een Cross Cap-oppervlakte om te zetten
in een oppervlakte van Boy (rechts of links, naar keuze)
via de Romeinse oppervlakte van Steiner.

Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome

../../Crosscap_Boy1.htm

27 september - 25 oktober 2003

pagina 4

We presenteren het model nog vanuit een ander gezichtspunt:

Tafel 14: we herhalen telkens dezelfde bewerking om het derde "oor" van de zelfintersectiecurve te creëren. In het polyhedrisch model heeft dit laatste de vorm van drie vierkanten met een gemeenschappelijk hoekpunt: het drievoudige punt T.

Tafel 15: door het object te draaien herkent u de polyhedrische vorm van de oppervlakte van Boy die ik eerder presenteerde in het Topologicon (waar u ook een montageplan vindt waarmee u deze kunt bouwen).

Laatste tafel: ik heb geprobeerd de Romeinse oppervlakte van Steiner te illustreren terwijl deze zich kronkelt en verandert in een oppervlakte van Boy.

We zien dat het, als het in "ronde vorm" wordt getekend, een flinke oefening is om het te begrijpen. Ons oog voelt zich erg ongemakkelijk bij het begrijpen van een object waarbij op één en dezelfde zichtlijn meer dan twee bladen overlappen. Daarom is het polyhedrisch model zo interessant: het maakt complexe transformaties uit de meetkunde toegankelijk voor iedereen, zeker als men zelf de modellen probeert te bouwen. Terloops merken we op dat, afhankelijk van de gekozen paren van spitspunten, een rechter of linker oppervlakte van Boy ontstaat (volledig arbitraire definities). Het projectieve vlak wordt ingebed in de ruimte via twee spiegelbeeldige "antiautomorfe" representaties. We zien dus ook dat men van een rechter oppervlakte van Boy kan overgaan naar een linker oppervlakte van Boy via een "centraal" model, namelijk de Romeinse oppervlakte van Steiner.

Het zou zeker leuk zijn als deze tekeningen in tijdschriften zoals Pour la Science of La Recherche zouden worden gepubliceerd. Maar sinds twintig jaar is het me verboden om daar te publiceren vanwege "ufologische afwijkingen". Dank u wel, heren Hervé This en Philippe Boulanger. Ik heb het aantal artikelen van dit type dat ik aan deze tijdschriften heb voorgesteld en vriendelijk werd geweigerd, al lang vergeten. Men gewent zich uiteindelijk aan zijn status als uitgesloten persoon.

Als anekdote bestaat er een "Alembert-prijs" voor auteurs van wiskundige popularisatieboeken. De geschiedenis werd me verteld door een lid van de commissie die moest beslissen wie de prijs zou krijgen (er zitten natuurlijk ook geldelijke belangen achter). Dialoog:

• Nou, waarom geven we de prijs niet aan Petit? Hij heeft opmerkelijke werken geschreven zoals het "Géométricon", het "Zwarte Gat" en het "Topologicon".

• Ja, maar hij heeft niet alleen dat gedaan.

• Wat bedoelt u?

• Hij heeft ook het "Muur van Stilte" geschreven.

• Ah, nou dan...

Ja, het "Muur van Stilte", uitgegeven in 1983, is een album gewijd aan de MHD. En zoals ieder van ons weet, heeft deze corrosieve wetenschap het voordeel, of nadeel, dat vliegende schotels met supersone snelheid kunnen bewegen zonder "BANG" te maken.

« Verberg deze wetenschap, dat ik haar niet kan zien »

Ik heb een prachtige versie van het "omkeerproces van de kubus" in mijn doos, die niet de polyhedrische versie van de Morin-variant is. Geheel van mijn eigen hand. Op een van deze dagen....

22 oktober 2003: Deze pagina’s worden niet te veel bezocht, zo lijkt het naar de teller. Op maandag 13 oktober 2003 gaf ik een seminarie bij het CMI (Centrum voor Wiskunde en Informatica van Château-Gombert-Marseille) op uitnodiging van Trotman. Op dat moment kon ik een collectie van ongeveer dertig kartonnen modellen tonen, waarvan u binnenkort de eerste voorstelling zult kunnen genieten, omdat ze zijn gefotografeerd door Christophe Tardy.

Bij een seminarie ontstaat een bepaalde sfeer. In de onderstaande foto ziet u een meetkundige die zijn verbazing uitdrukt.

Op de achtergrond een deel van de modellen die werden tentoongesteld met hulp van mijn langjarige samenwerker Boris Kolev, lid van het departement en ook meetkundige. Op een gegeven moment stelde ik de vraag:

• Hoeveel van u hebben al een Romeinse oppervlakte van Steiner gezien? Hef uw hand op.

Niemand had er ooit een gezien. Ik vond het dus nuttig deze constructie te presenteren, met een programma voor virtuele realiteit op mijn laptop, gemaakt met hulp van Christophe Tardy, ingenieur, en Frédéric Descamp van het Laue Langevin Instituut in Grenoble (ILL). Duidelijk verbaast deze presentatie het publiek, dat weinig gewend is aan het zien van wiskundige oppervlakken die willekeurig kunnen draaien.

Twee kartonnen tafels, zichtbaar in de voorgrond, hebben het mogelijk gemaakt om de volledige reeks modellen in logische volgorde te presenteren. De groene en gele modellen illustreren op polyhedrische wijze het essentiële instrument voor het creëren en ontbinden van een paar spitspunten. Het witte object verderop is een polyhedrische versie van de Cross Cap-oppervlakte, die eerst verandert in een polyhedrische versie van de Romeinse oppervlakte van Steiner, en daarna, een meter verderop, naar keuze in een rechter of linker oppervlakte van Boy.

De analyse van de modellen leidt tot verschillende observaties in het publiek. Een van de meetkundigen vraagt:

*- Als het waar is dat je via deze modellen van de Cross Cap-oppervlakte naar de oppervlakte van Boy kunt gaan, lijkt het alsof je via het omgekeerde proces een oppervlakte van Boy kunt omzetten in een Cross Cap. *

Ik bevestig dit. Met moed voegt mijn gesprekspartner eraan toe:

*- Dan zou het, als we bij de Romeinse oppervlakte van Steiner stoppen, mogelijk moeten zijn om terug te keren naar een oppervlakte van Boy, maar gespiegeld ten opzichte van de oorspronkelijke. *

Ik stem opnieuw toe. Maar helaas zal niemand zich aanbieden om hierover verduidelijking te geven in deze vreemde wereld waarin het toegestaan is dat gesloten oppervlakken punten met een spitstip hebben, die in paren kunnen worden gecreëerd of ontbonden, waarvan het geheel een soort uitbreiding vormt van de wereld van de inbeddingen. Het woord "sommering" lijkt me geschikt. Als een lezer hierover verduidelijking kan geven, is hij van harte welkom.

Kromming geconcentreerd in een spitstip.

We berekenen deze door de hoeken bij het hoekpunt op te tellen en deze som te vergelijken met het resultaat in het geval van het euclidische vlak: 2π.

Linksboven ziet u een van de vele mogelijke polyhedrische voorstellingen van een spitstip. Door het oppervlak "af te拆" komt men tot een som van hoeken die 2π overschrijdt met 2α. Hieruit volgt dat de geconcentreerde hoekkromming rond dit punt C gelijk is aan -2α. Als de hoek α gelijk is aan π/2, dan is de negatieve kromming gelijk aan -π (figuur linksonder). In werkelijkheid kan de kromming van een spitstip oneindig veel waarden aannemen. Rechts onder versterken we de hoekensom, waardoor de kromming dan < -π wordt (we hebben de negatieve kromming versterkt).

Door het proces omgekeerd uit te voeren, kunnen we een vrij verrassende situatie bereiken: we kunnen zorgen dat de (hoek)kromming rond C ... nul is:

Laten we nu uitgaan van een polyhedrische voorstelling van de Cross Cap-oppervlakte met twee spitstippen, elk met kromming -π:

In deze figuur zijn er acht "posiconen" met waarde +π/2. Voeg vier andere "posiconen" met kromming +π/4 en vier "negaconi" met kromming -π/4 toe.

Plus de twee spitstippen met kromming -π.

Totaal: 2π

Door deze "totale kromming" te delen door 2π krijgen we de waarde van de Euler-Poincaré-karakteristiek van elke voorstelling van het projectieve vlak (of van de oppervlakte van Boy).

Tijdens het seminarie noemde ik de kunst en de manier waarop men de twee spitstippen van een Cross Cap-oppervlakte kan verwisselen via het omkeren van de bol. Ik weet niet meer of ik dit ergens op mijn website heb geplaatst. Het is zo’n warboel. Ik zal moeten zoeken, anders voeg ik het toe. Het is leuk. Het feit is dat deze bewerking niet beviel aan een van de aanwezigen:

• Ik zie niet waarom Petit zoveel apparatuur gebruikt om de symmetrie tussen de twee spitstippen van een Cross Cap te bewijzen. Het kan veel eenvoudiger.

En hij tekende op het bord een bol die tussen twee linialen wordt samengedrukt die elkaar raken, wat inderdaad een zelfintersectie vormt in de vorm van een lijnstuk met twee spitstippen aan de uiteinden, zoals de Cross Cap-oppervlakte. Helaas merkte de man zelf op dat dit niet de Cross Cap-oppervlakte is.

• Verdomme, wat is het dan? vroeg iemand.

Het is simpelweg een inbedding van een bol met twee spitstippen. Als je ze naar één punt laat samenkomen, krijg je een zelfintersectielijn die een cirkel wordt. En je krijgt (rechts onder) een inbedding van een bol die we alleen nog moeten omzetten naar de standaardembedding. We kunnen ook een polyhedrische voorstelling van dit oppervlak geven:

Het is een tweezijdig oppervlak met totale kromming 2π.

Kortom, we kunnen veel plezier hebben met deze "sommeringen". Overweeg een inbedding van een torus die ontstaat door het "oneindig"-symbool rond een as te draaien:

De techniek van het samenvloeien van spitstippen in één punt stelt ons in staat om snel de standaardembedding van de torus te bereiken, zoals uitgelegd in de opeenvolgende tekeningen hierboven.

Maar het is niet altijd zo eenvoudig en duidelijk. Neem bijvoorbeeld een bol die tussen twee segmenten wordt samengedrukt, die deze keer korter zijn dan de diameter. We krijgen nog steeds twee spitstippen.

Omdat dit oppervlak een Möbiusband bevat, is het eenzijdig. We hebben er een polyhedrische voorstelling naast gezet die het mogelijk maakt de totale kromming te berekenen. We vinden dan nul. Als ik me niet vergis, zou het dan een Klein-fles moeten zijn. Over het algemeen kent men alleen de klassieke inbedding, waarbij de zelfintersectielijn een eenvoudige cirkel is. Maar er zijn andere, zoals deze hier. Ik moet bekennen dat ik nog niet heb gevonden hoe ik deze kan omzetten in een gewone Klein-fles. Bovendien weet ik niet eens of deze "inbedding" en de klassieke inbedding tot dezelfde homotopieklasse behoren (voor de bol bijvoorbeeld is er maar één). A priori is dat niet zeker: de torus kan immers op vier verschillende manieren in de driedimensionale ruimte worden ingebed, die niet door een reguliere homotopie in elkaar kunnen worden omgezet. Totdat we ontdekken of dit in dit geval mogelijk is, heb ik plezier gehad in het omzetten ervan door twee extra spitstippen te creëren, waardoor twee Cross Cap ontstaan die verbonden zijn door een buis. Door ze te ontleden, blijkt de Euler-Poincaré-karakteristiek nul te zijn.

Deze vreemde oppervlakte zou moeten veranderen in één van de vier mogelijke inbeddingen van de Klein-fles, maar welke? In elk geval, hier is er een die ontstaat door een 8 rond een as te draaien terwijl hij zelf tegelijkertijd een halve draai maakt:

Vorige pagina

Terug naar index "Transformatie van een Cross Cap naar Boy"

Terug naar sectie Nieuws Terug naar sectie Gids Terug naar Hoofdpagina

Aantal bezoeken vanaf 25 nov 2004:

Afbeeldingen