Oppervlakkengeometrie: wiskundige modellen

Hoe een Cross Cap-oppervlak te transformeren in een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze)
via het Steiner-romische oppervlak.

Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome

../../Crosscap_Boy1.htm

27 september - 25 oktober 2003

pagina 4

We tonen het model nogmaals vanuit een ander gezichtspunt:

Tafel 14: we herhalen telkens dezelfde bewerking om het derde "oor" van de zelfintersectielijn te creëren. In het polyhedrale model heeft dit laatste de vorm van drie vierkanten met een gemeenschappelijk hoekpunt: het drievoudige punt T.

Tafel 15: door het object te draaien herkent u de polyhedrale versie van het Boy-oppervlak dat ik eerder presenteerde in het Topologicon (waar u ook een montageplan vindt waarmee u het kunt bouwen).

Laatste tafel: ik heb geprobeerd het Steiner-romische oppervlak te illustreren terwijl het zich kronkelt en transformeert naar een Boy-oppervlak.

We zien dat het, getekend in "ronduit", veel oefening vereist om het te begrijpen. Ons oog voelt zich erg ongemakkelijk bij het begrijpen van een object waarbij op één en dezelfde zichtlijn meer dan twee bladen overlappen. Daarom is het polyhedrale model zo interessant: het maakt complexe transformaties uit de meetkunde toegankelijk voor iedereen die zelf de modellen probeert te bouwen. Opmerkelijk is dat, afhankelijk van de gekozen paar kromme punten, een "rechts" of "links" Boy-oppervlak ontstaat (volledig arbitraire definities). Het projectieve vlak wordt in de ruimte geïmmergeerd via twee spiegelbeeldige "anti-automorfe" representaties. We zien dus ook dat men van een rechts Boy-oppervlak kan overgaan naar een links Boy-oppervlak via een "centraal" model: het Steiner-romische oppervlak.

Het zou zeker leuk zijn als deze tekeningen zouden worden gepubliceerd in tijdschriften als Pour la Science of La Recherche. Maar sinds twintig jaar is het me verboden om daar te publiceren vanwege "ufologische deviatie". Dank u wel, heren Hervé This en Philippe Boulanger. Ik heb het aantal artikelen van dit type dat ik aan deze tijdschriften heb voorgesteld en vriendelijk werd afgewezen, al lang verloren. Uiteindelijk gewend aan het statuut van uitgesloten persoon.

Als anekdote bestaat er een "Alembert-prijs" voor auteurs van wiskundige popularisatieboeken. De geschiedenis werd me verteld door een lid van de commissie die moest beslissen wie de prijs zou ontvangen (er zijn natuurlijk ook geldelijke aspecten). Dialoog:

• Nou, waarom geven we de prijs niet aan Petit? Hij heeft opmerkelijke werken geschreven zoals het "Géométricon", het "Zwarte Gat" en het "Topologicon".

• Ja, maar hij heeft niet alleen dat gedaan.

• Wat bedoelt u?

• Hij heeft ook het "Muur van Stilte" geschreven.

• Ah, nou ja, dan...

Ja, het "Muur van Stilte", uitgegeven in 1983, is een album gewijd aan de MHD. En zoals ieder van ons weet, heeft deze corrosieve wetenschap het voordeel – of nadeel – dat vliegende schijven met supersone snelheid kunnen bewegen zonder "BANG" te maken.

« Verberg deze wetenschap, want ik kan haar niet zien »

In mijn kasten heb ik een prachtige versie van het "omkeerproces van een kubus", die niet de polyhedrale variant van de Morin-variant is. Alles van mijn eigen hand. Op een dag...

22 oktober 2003: Deze pagina’s worden niet al te veel bezocht, zo lijkt het volgens de teller. Op maandag 13 oktober 2003 gaf ik een seminarie bij het CMI (Centrum voor Wiskunde en Informatica van Château-Gombert-Marseille) op uitnodiging van Trotman. Op dat moment kon ik een collectie van ongeveer dertig kartonnen modellen tonen, waarvan u binnenkort de eerste smaak zal kunnen proeven, omdat ze zijn gefotografeerd door Christophe Tardy.

Bij een seminarie ontstaat een bepaalde sfeer. In de onderstaande foto ziet u een geometrisch denker die zijn verbazing uitspreekt.

Op de achtergrond een deel van de modellen die zijn tentoongesteld met hulp van mijn lange tijd samenwerkende collega Boris Kolev, lid van het departement en ook geometrisch denker. Op een gegeven moment stelde ik de vraag:

• Hoeveel van jullie hebben ooit een Steiner-romisch oppervlak gezien? Steek uw hand op.

Niemand had het ooit gezien. Ik vond het dus nuttig om dit object te presenteren met een programma voor virtuele realiteit op mijn laptop, dat was ontwikkeld met hulp van Christophe Tardy, ingenieur, en Frédéric Descamp van het Laue-Langevin-instituut in Grenoble (ILL). Duidelijk verbaast deze presentatie het publiek, dat niet gewend is om wiskundige oppervlakken zomaar te zien draaien en wervelen.

Twee kartonnen tafels, zichtbaar in de voorgrond, hebben geholpen om de volledige reeks modellen in hun logische volgorde te tonen. De groene en gele modellen illustreren op polyhedrale wijze het essentiële gereedschap voor het creëren en ontbinden van een paar kromme punten. Het witte object verderop is een polyhedrale versie van het Cross Cap-oppervlak, dat eerst transformeert naar een polyhedrale versie van het Steiner-romische oppervlak, en daarna, op een meter afstand, naar een Boy-oppervlak (rechts of links, naar keuze).

De analyse van de modellen leidt tot diverse observaties bij het publiek. Een van de geometrische denkers vraagt:

*- Als het waar is dat je via deze modellen van een Cross Cap-oppervlak naar een Boy-oppervlak kunt gaan, lijkt het alsof je via het omgekeerde proces een Boy-oppervlak kunt transformeren naar een Cross Cap. *

Ik bevestig dit. Geïnspireerd voegt mijn gesprekspartner eraan toe:

*- Dan zou het, als we bij het stadium van het Steiner-romische oppervlak stoppen, mogelijk moeten zijn om terug te keren naar een Boy-oppervlak, maar gespiegeld ten opzichte van het oorspronkelijke. *

Ik bevestig dit opnieuw. Helaas zal niemand zich aanbieden om dit vreemde wereldje verder uit te leggen, waarin gesloten oppervlakken kunnen worden geïmmergeerd met kromme punten die in paren worden gecreëerd of ontbonden, waarvan het geheel een soort uitbreiding vormt van de wereld van de immersies. Het woord "summersion" lijkt me geschikt. Als een lezer hier verder uitleg over kan geven, is hij hartelijk welkom.

Kromming geconcentreerd in een kromme punt.

We berekenen deze door de hoeken bij het hoekpunt op te tellen en deze som te vergelijken met het resultaat in het geval van het euclidische vlak: 2π.

Linksboven ziet u een van de vele mogelijke polyhedrale representaties van een kromme punt. Door het oppervlak "af te拆" komt men tot een som van hoeken die 2π overschrijdt met 2α. Hieruit volgt dat de geconcentreerde hoekkromming rond dit punt C gelijk is aan -2α. Als de hoek α gelijk is aan π/2, dan is de negatieve kromming gelijk aan -π (figuur rechtsonder). In werkelijkheid kan de kromming van een kromme punt oneindig veel waarden aannemen. Rechtsonder versterken we de hoekensom, en de kromming wordt dan < -π (we hebben de negatieve kromming versterkt).

Door het proces omgekeerd uit te voeren, kunnen we een vrij verrassende situatie verkrijgen: we kunnen zorgen dat de (hoek)kromming geconcentreerd in C ... nul is:

Laten we nu uitgaan van een polyhedrale representatie van het Cross Cap-oppervlak met twee kromme punten, elk met kromming -π:

In deze figuur zijn er acht "posiconen" met waarde +π/2. Voeg vier andere "posiconen" met kromming +π/4 en vier "negaconi" met kromming -π/4 toe.

Plus de twee kromme punten met kromming -π.

Totaal: 2π

Door deze "totale kromming" te delen door 2π, krijgen we de waarde van de Euler-Poincaré-karakteristiek van elk model van het projectieve vlak (of van het Boy-oppervlak).

Tijdens het seminarie noemde ik kunst en de manier waarop men de twee kromme punten van een Cross Cap-oppervlak kan verwisselen met behulp van het omkeren van de bol. Ik weet niet meer of ik dit ergens op mijn website heb geplaatst. Het is zo’n warboel. Ik moet het zoeken, anders voeg ik het toe. Het is leuk. Het feit is dat deze bewerking niet beviel aan een van de aanwezigen:

• Ik zie niet waarom Petit zo’n ingewikkelde methode gebruikt om de symmetrie tussen de twee kromme punten van een Cross Cap te tonen. Het kan veel eenvoudiger.

En hij tekende op het bord een bol die tussen twee linialen wordt samengedrukt, die elkaar raken, en die inderdaad een zelfintersectielijn vormt in de vorm van een segment waarop twee kromme punten liggen, zoals het Cross Cap-oppervlak. Helaas merkte de man zelf op: dit is niet het Cross Cap-oppervlak.

• Verdomme, wat is het dan? vroeg iemand.

Het is simpelweg een immersie van een bol met twee kromme punten. Als je die twee punten naar één punt laat samenkomen, krijg je een zelfintersectielijn die een cirkel wordt. En je krijgt (rechts onder) een immersie van een bol die we alleen nog moeten transformeren naar de standaard embedding. We kunnen ook een polyhedrale representatie van dit oppervlak geven:

Het is een tweezijdig oppervlak met totale kromming 2π.

Kortom, we kunnen veel plezier hebben met deze "summersionen". Overweeg een immersie van een torus die ontstaat door het "oneindig"-symbool rond een as te draaien:

De techniek van het samenvloeien van kromme punten naar één punt stelt ons in staat om snel de standaard embedding van de torus te bereiken, zoals uitgelegd in de opeenvolgende tekeningen hierboven.

Maar het is niet altijd zo eenvoudig en duidelijk. Neem bijvoorbeeld een bol die tussen twee segmenten wordt samengedrukt, die nu korter zijn dan de diameter. We krijgen nog steeds twee kromme punten.

Omdat dit oppervlak een Möbiusband bevat, is het eenzijdig. We hebben er een polyhedrale representatie naast gezet die het mogelijk maakt de totale kromming te berekenen. We vinden dan nul. Als ik me niet vergis, zou het dan een Klein-fles moeten zijn. Over het algemeen kent men alleen de klassieke immersie, waarbij de zelfintersectielijn een eenvoudige cirkel is. Maar er zijn andere, zoals deze hier. Ik moet bekennen dat ik nog steeds geen manier heb gevonden om het te transformeren naar een gewone Klein-fles. Bovendien weet ik niet eens of deze "immersie" en de klassieke versie tot dezelfde homotopieklasse behoren (voor de bol is er bijvoorbeeld maar één). A priori is dat niet zeker: de torus kan immers op vier verschillende manieren in de driedimensionale ruimte worden geïmmergeerd, die niet door een reguliere homotopie in elkaar kunnen worden omgezet. Totdat we ontdekken of dit mogelijk is, heb ik plezier gehad in het transformeren ervan door twee extra kromme punten te creëren, waardoor twee Cross Cap ontstaan die door een buis zijn verbonden. Bij ontbinding blijkt de Euler-Poincaré-karakteristiek nul te zijn.

Dit vreemde oppervlak zou moeten transformeren naar één van de vier mogelijke immersies van de Klein-fles, maar welke? In elk geval, hier is een versie die ontstaat door een 8 te laten draaien rond een as, terwijl hij tegelijkertijd een halve draai uitvoert:

Vorige pagina

Terug naar index "Transformatie van een Cross Cap naar Boy"

Terug naar sectie Nieuws Terug naar sectie Gids Terug naar Hoofdpagina

Aantal bezoeken vanaf 25 nov 2004:

Afbeeldingen