Sfeer topologie model wiskundige modellen
Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
Klik hier om het model in schaal 1:1 te tonen, om af te drukken en uit te knippen.
Door vier exemplaren te fotokopiëren op karton van twee verschillende kleuren, kunt u het model zelf bouwen, volgens de montage-instructies.
U hebt zeker een vreemd object zien draaien op de linkerzijde van de startpagina van deze site. Wat is dat?
Op een dag, als ik de tijd vind, zal ik hier een beschrijving van het omkeren van de sfeer plaatsen, zoals ik die had geïllustreerd in het nummer van Pour la Science van januari 1979, dus... 22 jaar geleden! Dat vereist veel details en een inleiding. Wat betekent "een sfeer omkeren"? Voor de gemiddelde mens is een sfeer simpelweg de verzameling van alle punten in de ruimte die op een afstand R van een vast punt O liggen. Voor een geometrisch denkende wiskundige blijft het woord "sfeer" echter ook gelden voor een "vervormde sfeer", zoals een aardappel bijvoorbeeld. Om deze concepten nauwkeuriger te begrijpen, verkrijg dan de CD van Lanturlu met het stripverhaal "Topologicon". Maar een wiskundige gaat nog verder. Een oppervlak heet "regelmatig" als in elk punt een raakvlak kan worden gedefinieerd. Dat maakt al een oneindig aantal mogelijke regelmatige vervormingen van de sfeer mogelijk, in de oneindig veel vormen van een aardappel, waarbij ook de oppervlakte willekeurig kan worden gewijzigd. Toch, in ons fysieke universum zal iemand die probeert de sfeer om te keren (dus het binnenoppervlak naar buiten te brengen) tegen de onmogelijkheid aanlopen om het oppervlak zelf te laten doordringen. Als men deze hypothese aanneemt, dus het verbieden van zelfdoorsnijding of zelfs alleen maar aanraking, spreekt de wiskundige van een "embedding" van de sfeer S2. Maar een wiskundige mag altijd alles. Voor hem is een sfeer een "virtueel" object, geen materieel, waarin doordringing van een oppervlak mogelijk is. De reeks afbeeldingen hieronder toont een sfeer die zichzelf doorsnijdt. Een dergelijke representatie, die dus zelfdoorsnijdingen toelaat, heet een "immersie".
Een immersie heeft dus een verzameling zelfintersectie (hier is het een eenvoudige cirkelvormige lijn). Het raakvlak moet echter continu veranderen. Nu, als men de afbeelding hierboven bekijkt, ziet men duidelijk dat een deel van het binnenoppervlak (weergegeven in groen) naar buiten wordt gebracht. Om het omkeren volledig af te ronden, zou men deze soort equatoriale buis moeten platdrukken. Hier lijkt een probleem te zijn: dit platdrukken zou de continuïteit van het raakvlak verstoren, en dus zou deze transformatie een stap bevatten die geen immersie is.
Op een dag bewees een Amerikaanse wiskundige, Stephen Smale, dat "de sfeer S2 slechts één klasse van immersies bezit". Deze raadselachtige uitspraak had als gevolg dat men via een transformatie die alleen echte immersies bevat, van de "standaard" sfeer naar haar "antipodale" representatie zou kunnen gaan, waarin elk punt wordt uitgewisseld met zijn antipode: simpel gezegd... een omgekeerde sfeer. Raoul Bott was de baas van Smale. Zozeer de formele bewijsvoering van dit feit ook correct leek, niemand leek in staat om deze omkeringsoperatie concreet te realiseren. Bott bleef Smale vragen: "Laat me zien hoe je dit zou aanpakken"; waarop Smale, beroemd om zijn ongevoelige taalgebruik, antwoordde: "Ik heb geen flauw idee." Smale ontving later de Fieldsmedaille, het equivalent van de Nobelprijs voor wiskunde. Terloops, u vraagt zich misschien af waarom er geen Nobelprijs voor wiskunde bestaat. Het antwoord is simpel: zijn vrouw is met een wiskundige weggegaan.
Zo bleef het een tijdlang, tot een Amerikaanse wiskundige, Anthony Phillips, in 1967 in Scientific American een eerste versie van dit omkeren publiceerde, extreem ingewikkeld. De tweede werd in de begin jaren zeventig uitgevonden door de Franse wiskundige (blind) Bernard Morin. Ik was de eerste die de reeks transformaties tekende, die, zoals ik al aankondigde, het onderwerp zal zijn van een volgend artikel op deze site, overigens uitgebreid. Hoe dan ook, dit brengt ons tot een overweging. Oppervlakken kunnen in polyhedrale vorm worden weergegeven. Een kubus of een tetraëder kunnen worden beschouwd als polyhedrale representaties van de sfeer, in de zin dat deze objecten dezelfde topologie hebben. Over dit punt, raad ik u aan mijn Topologicon te raadplegen. Bovendien is duidelijk dat, als het mogelijk is om de sfeer om te keren, het ook mogelijk is om een kubus om te keren. De transformatie die Bernard Morin bedacht (die ik in het artikel van januari 1979 in Pour la Science heb uitgebeeld) gaat via een centraal model. Er is een symmetrie in deze reeks. Dat is wat ik een "centraal model met vier oren" noem. Ik geef een beetje vooruit. Toch geldt dat, net zoals de sfeer polyhedrale representaties kan hebben, ook de volgende stappen van deze transformatie dat kunnen. Wat u ziet draaien op mijn startpagina is de polyhedrale versie van het centrale model van het omkeren van de sfeer, dat ik ongeveer tien jaar geleden bedacht. Het voordeel van dergelijke polyhedrale modellen is dat ze kunnen worden gebouwd met vlakke oppervlakken. Ze kunnen ook worden gemaakt met papier en schaar. Kijk naar de afbeelding hieronder (ik dank hierbij mijn vriend Christophe Tardy, die de elementen in de juiste maat heeft geproduceerd).
Dit is een montageplan, waarvan u hier een algemene weergave ziet. Maar voor het afprinten is het beter om over te gaan naar de pagina découpage. Print die af. Daarna, uitgerust met dit exemplaar op het gewone papier van uw printer, fotokopieer vier identieke exemplaren, twee op groen karton, en twee op geel. Met deze uit te knippen bladen kunt u het centrale model van het omkeren van de kubus bouwen.
Op de te knippen elementen staan paren van letters: a, b, c, d, e, f, enz... Het volstaat om het papier te vouwen zodat dezelfde letters samenkomen, en de vlakken met transparant tape vast te plakken. De volgende afbeeldingen tonen hoe één van de vier delen gemonteerd moet worden. Hier is hoe men moet beginnen met vouwen van één van de vier elementen:
Hier zijn twee van de vier elementen, vanuit verschillende hoeken gezien.
Zet ze dan op een manier die een symmetrie van orde vier geeft, waarbij groene en gele elementen afwisselend worden geplaatst. Om het in 3D te zien, kijk dan naar de realisatie van Tardy, in de sectie "virtuele werkelijkheid". Het centrale model is gemonteerd en ook in "vrml" gerealiseerd in deze sectie. Hier is het vanuit verschillende gezichtspunten weergegeven:
Men kan niet zeggen dat een gezichtspunt "boven" en het andere "onder" is, omdat deze benamingen volkomen willekeurig zijn. In de afbeelding links komt het "centrale" punt overeen met het "dubbele punt" (waar twee vlakken elkaar kruisen) van het centrale model van Morin, terwijl het centrale punt in de afbeelding rechts overeenkomt met het "vier-voudige punt" van hetzelfde model (waar vier vlakken elkaar kruisen). Ik moest het object zeer zorgvuldig oriënteren, zodat de linkse afbeelding geen swastika oproept. Behalve dat, vanuit architectuurperspectief, deze polyhedrale representatie van het centrale model van Morin een mooi ontwerp zou kunnen zijn voor een Nationale Socialistische Cultuurhuis.
Een laatste opmerking: er bestaat geen goede polyhedrale representatie van het omkeren van de sfeer (of van de kubus). Met "goed" bedoel ik een reeks modellen die redelijk expliciet zijn en die kunnen worden beschreven als uitknipbare bladen op een relatief eenvoudige manier, zoals het model hierboven. Dit zou een onderzoek kunnen zijn in die richting, binnen bereik van iedereen, zelfs van iemand die geen wiskundige is, bijvoorbeeld een beeldhouwer. Meer dan twintig jaar geleden was ik beeldhouwdocent aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence, destijds onder leiding van mijn goede vriend Jacques Boullier. Daar is de eerste meridiaanrepresentatie van de Boyoppervlakte via ellipsen ontstaan, de sleutel tot de eerste impliciete vergelijking van Apéry. Ik moet zeggen dat ik toen al verbaasd was over de geometrische fantasie van de kunststudenten, die vaak de geometrische fantasie van... geometriërs overtrof.
Teller geïnstalleerd op 31 december 2001. Aantal verbindingen :
Terug naar de pagina Nieuws Startpagina
Afbeeldingen
