Sfeer topologie wiskundige modellen
Italiaans: Andrea Sambusetti, universiteit van Rome
Klik hier om het model in schaal 1:1 te tonen, om te printen en uit te knippen.
Door vier exemplaren te fotokopieën op karton van twee verschillende kleuren, kunt u het model zelf bouwen, volgens de montage-instructies.
U hebt zeker een vreemd object zien draaien op de linkerkant van de startpagina van deze site. Wat is het?
Op een dag, als ik de tijd heb, zal ik hier een beschrijving van het omkeren van de sfeer plaatsen, zoals ik die had geïllustreerd in het nummer van Pour la Science van januari 1979, dus... 22 jaar geleden! Dat vereist veel details en een inleiding. Wat betekent "een sfeer omkeren"? Voor de gewone mens is een sfeer simpelweg de verzameling van punten in de ruimte die op een afstand R van een vaste punt O liggen. Een meetkundige blijft echter ook een "sfeer" noemen, ook bij een "vervormde sfeer", zoals een aardappel bijvoorbeeld. Om deze concepten nauwkeuriger te begrijpen, verkrijg dan de CD van Lanturlu met het stripverhaal "Topologicon". Maar de wiskundige gaat nog verder. Een oppervlak heet "regelmatig" als in elk punt een raakvlak kan worden gedefinieerd. Dat stelt al voor dat er een oneindig aantal mogelijke regelmatige vervormingen van de sfeer zijn, in alle mogelijke vormen van een aardappel, waarbij ook de oppervlakte willekeurig kan worden gewijzigd. Toch, in ons fysische universum zou een persoon die probeert de sfeer om te keren (dus de binnenkant naar buiten te brengen) tegen de onmogelijkheid aanlopen om het oppervlak door zichzelf heen te laten gaan. Als men deze hypothese aanneemt, dus het verbieden van zelfdoorsnijding of zelfs maar aanraking van het oppervlak, spreekt de wiskundige van een "embedding" van de sfeer S2. Maar een wiskundige mag altijd alles. Voor hem is een sfeer een "virtueel" object, geen materieel, waarin het doordringen van een oppervlakdeling mogelijk wordt geacht. De reeks afbeeldingen hieronder toont een sfeer die zichzelf doorsnijdt. Een dergelijke representatie, die dus zelfdoorsnijdingen toestaat, heet een "immersie".
Een immersie heeft dus een verzameling zelfdoorsnijdingen (hier een eenvoudige cirkelvormige kromme). Het raakvlak moet echter continu veranderen. Gezien dit, als men de afbeelding hierboven bekijkt, is duidelijk dat een deel van het binnenoppervlak (weergegeven in groen) naar buiten wordt gebracht. Om het omkeren volledig te maken, zou men deze soort equatoriale buis moeten platdrukken. Hier lijkt een probleem te zijn: deze druk zou de continuïteit van het raakvlak verstoren, en deze transformatie zou dus een stap bevatten die geen immersie is.
Op een dag bewees een Amerikaanse wiskundige, Stephen Smale, dat "de sfeer S2 slechts één klasse van immersies heeft". Deze raadselachtige zin had als gevolg dat men via een transformatie die alleen echte immersies bevat, van de "standaard" sfeer naar haar "antipodale" weergave zou kunnen gaan, waarin elk punt wordt verwisseld met zijn antipode: simpel gezegd... een omgekeerde sfeer. Raoul Bott was de baas van Smale. Zozeer de formele bewijsvoering van dit feit correct leek, zo weinig leek iemand in staat om deze omkeringsoperatie concreet te realiseren. Bott bleef Smale vragen: "Laat me zien hoe u zou denken te werken"; Smale, beroemd om zijn gebrek aan omwegen, antwoordde: "Ik heb geen flauw idee." Smale ontving later de Fields-medaille, de wiskundige equivalent van de Nobelprijs. Terzijde: u zult u misschien afvragen waarom er geen Nobelprijs voor wiskunde bestaat. Het antwoord is simpel: zijn vrouw is met een wiskundige weggegaan.
Zo bleef het een hele tijd, totdat een Amerikaanse wiskundige, Anthony Phillips, in 1967 in Scientific American een eerste versie van dit omkeren publiceerde, extreem ingewikkeld. De tweede werd in de beginjaren van de jaren zeventig uitgevonden door de Franse wiskundige (blind) Bernard Morin. Ik was de eerste die de reeks transformaties tekende, die, zoals ik al aankondigde, het onderwerp zal zijn van een komend artikel op deze site, overvloedig uitgewerkt. Toch brengt dit ons tot een overweging. Oppervlakken kunnen worden weergegeven in polyhedrale vorm. Een kubus of een tetraëder kunnen worden beschouwd als polyhedrale representaties van de sfeer, in de zin dat deze objecten dezelfde topologie hebben. Hierover raad ik u aan om mijn Topologicon te raadplegen. Bovendien is duidelijk dat, als het mogelijk is om de sfeer om te keren, het ook mogelijk is om een kubus om te keren. De transformatie die Bernard Morin ontwikkelde (die ik in het artikel van januari 1979 in Pour la Science heb uitgebeeld) gaat via een centraal model. Er is een symmetrie in deze reeks. Dat is wat ik "centraal model met vier oren" noem. Ik geef hier al iets vooruit. Toch geldt: net zoals de sfeer polyhedrale representaties toelaat, geldt dat ook voor de volgende stappen van deze transformatie. Wat u ziet draaien op mijn startpagina is de polyhedrale versie van het centrale model van het omkeren van de sfeer, dat ik een tiental jaar geleden ontwierp. Het voordeel van dergelijke polyhedrale modellen is dat ze kunnen worden gemaakt met vlakke oppervlakken. Ze kunnen ook worden gemaakt van papier en schaar. Kijk naar de afbeelding hieronder (ik dank hierbij mijn vriend Christophe Tardy, die de juiste elementen heeft geproduceerd).
Dit is een montageplan waarvan u hier een algemene weergave ziet. Maar voor het printen is het beter om over te gaan naar de pagina découpage. Print die pagina. Vervolgens, uitgerust met dit exemplaar op gewoon papier van uw printer, fotokopieer er vier identieke exemplaren van, twee op groen karton, en twee op geel. Met deze uit te knippen bladen kunt u het centrale model van het omkeren van de kubus bouwen.
Op de te knippen onderdelen staan paren van letters: a, b, c, d, e, f, enz. Het is voldoende om het papier te vouwen zodat dezelfde letters samenkomen, en de vlakken vast te plakken met transparante tape. De volgende afbeeldingen tonen hoe één van de vier onderdelen gemonteerd moet worden. Hier is hoe u moet beginnen met vouwen van één van de vier elementen:
Hier zijn twee van de vier elementen, vanuit verschillende hoeken bekeken.
Zet ze dan op een manier die een symmetrie van orde vier geeft, waarbij groene en gele onderdelen afwisselend worden geplaatst. Om het in 3D te zien, kijk naar de realisatie van Tardy, in de sectie "virtuele werkelijkheid". Het centrale model is gemonteerd en ook in "vrml" gerealiseerd in deze sectie. Hier is het vanuit verschillende hoeken weergegeven:
Men kan niet zeggen dat één hoek "boven" en de andere "onder" is, omdat deze benamingen volledig willekeurig zijn. In de afbeelding links correspondeert het "centrale" punt met het "dubbele punt" (waar twee oppervlakken elkaar snijden) van het centrale model van Morin, terwijl het centrale punt in de afbeelding rechts overeenkomt met het "vier-voudige punt" van hetzelfde model (waar vier oppervlakken elkaar snijden). Ik moest het object zorgvuldig oriënteren, zodat de linkse afbeelding geen swastika oproept. Behalve dat, vanuit architectuurperspectief, deze polyhedrale representatie van het centrale model van Morin een mooi ontwerp zou kunnen zijn voor een Nationale Socialistische Cultuurhuis.
Een laatste opmerking: er bestaat geen goede polyhedrale representatie van het omkeren van de sfeer (of van de kubus). Met "goed" bedoel ik een reeks modellen die redelijk duidelijk zijn en kunnen worden beschreven als uitknipbare bladen op een relatief eenvoudige manier, zoals het model hierboven. Dit zou een studie kunnen zijn in die richting, toegankelijk voor iedereen, ook een niet-wiskundige, bijvoorbeeld een beeldhouwer. Meer dan twintig jaar geleden was ik beeldhouwdocent aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence, destijds onder leiding van mijn goede vriend Jacques Boullier. In die ruimtes ontstond de eerste meridiaanweergave van de Boyoppervlak door ellipsen, de sleutel tot de eerste impliciete vergelijking van Apéry. Ik moet zeggen dat ik toen al verbaasd was over de geometrische fantasie van de kunststudenten, die vaak de fantasie van... meetkundigen overtrof.
Teller geïnstalleerd op 31 december 2001. Aantal verbindingen :
Terug naar de pagina Nieuws Startpagina
Afbeeldingen
