Centraal model (polyhedraal) van het omkeren van een kubus
Het centrale model van het omkeren van een kubus
31 dec 2001
U hebt allemaal gezien hoe een vreemd voorwerp onafgebroken draait op de linkerhelft van de startpagina van deze site. Waar gaat het over?
Op een dag, als ik tijd heb, zal ik op deze site een beschrijving plaatsen van het omkeren van de bol, zoals ik die had geïllustreerd in het nummer van januari 1979 van Pour la Science, dus alweer... 22 jaar geleden. Dat zou natuurlijk veel details en een inleiding vereisen. Wat betekent het om een bol omkeren? Voor de gemiddelde mens heeft een bol een andere betekenis dan voor een wiskundige-geometer. Voor de gemiddelde mens is een bol in een driedimensionale ruimte de verzameling van alle punten die op een afstand R van een vast punt O liggen. Een meetkundige blijft "bol" noemen wat voor hem een "vervormde bol" is, een soort "aardappel". Om deze concepten nauwkeuriger te begrijpen, raad ik aan om de CD Lanturlu te verkrijgen, met de strip "Le Topologicon". Maar de wiskundige gaat nog verder. Wanneer een oppervlak "regelmatig" wordt genoemd, kan men in elk punt een raakvlak definiëren. Dit maakt al een oneindig aantal vervormingen van de "oorspronkelijke bol" mogelijk, in een oneindig aantal aardappels, wanneer ook de oppervlakte van dit oppervlak willekeurig mag zijn. In een fysiek universum zou een persoon die deze bol vervormt, tegen de onmogelijkheid aanlopen om de bol zelf te doorkruisen. Als doorkruisingen of zelfs aanrakingen verboden zijn, spreekt men dan van een "inbedding" van de bol S2. Maar een wiskundige geeft zich alle rechten. Voor hem is een bol een "virtueel" object waarin doorkruisingen van oppervlakken mogelijk zijn. De reeks tekeningen hieronder toont een bol die zichzelf heeft doorkruist. Men noemt zo'n voorstelling van de bol een "inbedding".
Een inbedding heeft een verzameling zelfintersecties (hier een eenvoudige cirkelvormige kromme). Het raakvlak moet continu variëren. Toch zien we bij het bekijken van de tekeningen hierboven dat een deel (weergegeven in groen) van de binnenkant van de bol naar buiten wordt gedraaid. Om een dergelijk omkeren af te ronden, zou men deze soort equatoriale "watten" moeten platdrukken. Dat lijkt a priori problematisch. Die druk zou de continuïteit van het raakvlak verstoren. De operatie zou dus een stap bevatten die geen inbedding is.
Op een dag bewees de Amerikaanse wiskundige Stephen Smale dat "de bol S2 slechts één klasse van inbeddingen heeft". Het gevolg van deze raadselachtige uitspraak was dat men een reeks inbeddingen van de bol kon opstellen die overgingen van de "standaardbol" naar haar "antipodale" voorstelling, waarbij elk punt vervangen was door zijn antipode. Kortom... een omgekeerde bol, voor- en achterkant. Raoul Bott was de mentor van Smale. Terwijl de formele bewijsvoering van Smale onfeilbaar leek, zag niemand hoe men de operatie moest uitvoeren. Bott herhaalde voortdurend tegen Smale: "Toon me hoe je het zou aanpakken", waarop Smale, met zijn beroemde haar op de tong, antwoordde: "Ik heb er geen idee van." Smale ontving later de Fieldsmedaille, het equivalent van de Nobelprijs voor wiskunde. Tijdens dit verhaal zult u misschien afvragen waarom Nobel nooit een Nobelprijs voor wiskunde heeft willen creëren. Het antwoord is simpel: zijn vrouw is met een wiskundige weggelopen.
De situatie bleef jarenlang onveranderd, totdat de Amerikaanse wiskundige Anthony Phillips in 1967 in Scientific American een eerste versie van dit omkeren publiceerde, vreselijk ingewikkeld. De tweede werd in het begin van de jaren zeventig bedacht door de Franse wiskundige (blinde) Bernard Morin. Ik was de eerste die deze reeks transformaties tekende, zoals ik al eerder zei, het onderwerp van een volgend artikel op deze site, vrij uitgebreid trouwens. Wat dit ons brengt tot een bijzondere conclusie. Oppervlakken kunnen worden voorgesteld als polyhedra. Een kubus of een tetraëder kunnen worden beschouwd als polyhedrale voorstellingen van een bol, omdat deze objecten dezelfde topologie hebben. Over dit punt raad ik aan om mijn strip "Le Topologicon" te raadplegen. Bovendien begrijpt men dat als het omkeren van een bol mogelijk is, ook het omkeren van een kubus mogelijk is. De transformatie die Bernard Morin bedacht (die ik in het artikel van januari 1979 van Pour la Science heb geïllustreerd) gaat via een centraal model. Er is een symmetrie in deze reeks. Dit heet "het centrale model met vier oren". Ik voorbaat me weer. Maar net zoals een bol polyhedrale voorstellingen kan hebben, geldt dat ook voor de opeenvolgende stappen van deze transformaties. Het object dat u ziet draaien op mijn startpagina is dus de polyhedrale versie van het centrale model van het omkeren van de bol, een model dat ik ongeveer tien jaar geleden heb uitgevonden. Het voordeel van deze polyhedrale modellen is dat ze kunnen worden gebouwd met vlakke oppervlakken. Ze kunnen zelfs worden geassembleerd via sneden. Kijk naar de tekening hieronder (ik dank hierbij mijn vriend Christophe Tardy, die de correct gecontoureerde elementen heeft gemaakt).
**Dit is een tekening die op uw printer in klein formaat komt, onbruikbaar. **
Om deze figuur op A4-papier te printen U moet dan vier kopieën maken op dik A4-papier, twee bladen van één kleur, twee bladen van een andere.
Het is een snedeprofiel dat u hier in het algemeen ziet. Maar voor het printen is het beter om naar de pagina snijden te gaan. Print die pagina. Neem vervolgens het afdrukje op het normale papier van uw printer mee naar een fotokopieerapparaat en maak er vier identieke kopieën van, twee op groene bristol en twee op gele. U kunt nu met dit snijden het centrale model van het omkeren van de kubus bouwen.
Op deze gesneden elementen ziet u paren van letters: a, b, c, d, e, f, enz. U hoeft alleen maar de vouwen uit te voeren door dezelfde letters op elkaar te brengen, en de vlakken met transparant tape te verbinden. De volgende tekeningen tonen hoe één van de vier elementen moet worden opgebouwd. Hier is eerst hoe u moet beginnen met vouwen van één van de vier elementen:
Hier zijn twee van deze vier elementen, vanaf verschillende hoeken gezien.
Deze elementen worden vervolgens samengevoegd tot een object met een vierde-orde symmetrie, waarbij groene en gele elementen afwisselend worden afgewisseld. Om dit in 3D te zien, kijk dan naar de realisaties van de heer Tardy in "virtual reality". Het volledig samengestelde centrale model is ook beschikbaar in "vrml" in deze sectie. Hier is het object, vanaf verschillende hoeken:
Men kan niet zeggen dat één beeld "boven" en het andere "onder" is, omdat die benamingen volledig willekeurig zouden zijn. In de linkse afbeelding komt het "centrale punt" overeen met het "dubbele punt" (waar twee oppervlakken elkaar kruisen) van het centrale model van Morin, terwijl het centrale punt rechts overeenkomt met het "vier-voudige punt" van datzelfde model (waar vier oppervlakken elkaar kruisen). Ik heb het object zorgvuldig georiënteerd, zodat de linkse afbeelding geen kruis van de gamma niet oproept. Anders zou deze polyhedrale voorstelling van het centrale model van Morin, architecturaal gezien, een uitstekend ontwerp kunnen zijn voor een Nationaal Socialistisch Cultuurhuis.
Laatste beeld:
Een laatste opmerking: er bestaat geen goede polyhedrale voorstelling van het omkeren van de bol (of het omkeren van de kubus). Met "goed" bedoel ik een reeks modellen die voldoende duidelijk zijn en die relatief eenvoudig kunnen worden samengesteld via sneden, zoals het model hierboven. Een onderzoek in deze richting zou mogelijk zijn voor iedereen, eventueel ook voor iemand zonder wiskundige achtergrond, bijvoorbeeld een beeldhouwer. Meer dan twintig jaar geleden was ik docent beeldhouwkunst aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence, toen die nog werd geleid door mijn uitstekende vriend Jacques Boullier. In deze ruimtes ontstond de eerste meridiaalvoorstelling van de Boyoppervlak door middel van ellipsen, de sleutel tot de eerste impliciete vergelijking van Apéry. Ik moet zeggen dat ik toen altijd verbaasd was over de geometrische fantasie van de kunststudenten, die vaak veel groter was dan die... van de meetkundigen.
Teller geïnitialiseerd op 31 december 2001. Aantal verbindingen :
Ruimte van virtuele realiteit Terug naar Nieuwigheden
Afbeeldingen
