Centraal model (polyhedraal) van het omkeren van een kubus
Het centrale model van het omkeren van een kubus
31 dec. 2001
U hebt allemaal gezien hoe een vreemd object onafgebroken draait op de linkerkant van de startpagina van deze site. Wat is het?
Op een dag, als ik tijd heb, zal ik op deze site een beschrijving plaatsen van het omkeren van de bol, zoals ik die had geïllustreerd in het nummer van januari 1979 van Pour la science, dus alweer... 22 jaar geleden. Dat zou natuurlijk veel details en een inleiding vereisen. Wat betekent het om een bol omkeren? Een bol heeft voor de gemiddelde man en de wiskundige-geometer een verschillende betekenis. Voor de gemiddelde man is een bol in een driedimensionale ruimte de verzameling van alle punten die op een afstand R van een vast punt O liggen. Een meetkundige blijft "bol" noemen wat voor een "vervormde bol", een soort "aardappel". Om deze concepten nauwkeuriger te begrijpen, raad ik aan om de CD Lanturlu te kopen, die de strip "Le Topologicon" bevat. Maar een wiskundige gaat nog verder. Wanneer een oppervlak "regelmatig" wordt genoemd, kan men in elk punt een raakvlak definiëren. Hiermee kan men al een oneindig aantal vervormingen van de "startbol" naar een oneindig aantal aardappels overwegen, zolang de oppervlakte van het oppervlak maar willekeurig mag zijn. In een fysiek universum zou iemand die deze bol vervormt, tegen de onmogelijkheid aanlopen om de bol door zichzelf heen te laten gaan. Als zulke doorgangen of zelfs aanrakingen verboden zijn, spreekt men dan van een "inbedding" van de bol S2. Maar een wiskundige geeft zichzelf alle rechten. Voor hem is een bol een "virtueel" object waarin het doorgaan van oppervlakken mogelijk is. De reeks afbeeldingen hieronder toont een bol die zichzelf "heeft doorgestoken". Zo'n voorstelling van de bol noemt men een "inbedding".
Een inbedding heeft een verzameling zelfintersecties (hier een eenvoudige cirkelvormige lijn). Het raakvlak moet continu variëren. Toch ziet men bij het bekijken van de afbeeldingen hierboven dat een deel (weergegeven in groen) van de binnenkant van de bol naar buiten wordt gedraaid. Om een dergelijk omkeren af te ronden, zou men deze soort equatoriale "worst" moeten platdrukken. Dat lijkt a priori problematisch. Deze druk zou de continuïteit van het raakvlak verstoren. De operatie zou dus een stap bevatten die geen inbedding is.
Op een dag bewees de Amerikaanse wiskundige Stephen Smale dat "de bol S2 slechts één klasse van inbeddingen heeft". Het gevolg van deze cryptische uitspraak was dat men een reeks inbeddingen van de bol kon samenstellen die het overgaan van de "standaardbol" naar haar "antipodale" voorstelling mogelijk maakte, dus waarbij elk punt werd vervangen door zijn antipode. Kortom... een omgekeerde bol, voor- en achterkant. Raoul Bott was de promotor van Smale. Zozeer de bewijsvoering van Smale, puur formeel, onfeilbaar leek, toch kon niemand zien hoe men de operatie moest uitvoeren. Bott herhaalde steeds tegen Smale: "Toon me hoe je het zou aanpakken", waarop Smale, met zijn beroemde haar op de tong, antwoordde: "Ik heb er geen idee van." Smale kreeg later de Fields Medal, de wiskundige equivalent van de Nobelprijs. Tijdens deze toelichting vraagt u zich misschien af waarom Nobel nooit een Nobelprijs voor wiskunde heeft willen opzetten. Het antwoord is simpel: zijn vrouw is met een wiskundige weggelopen.
De situatie bleef jarenlang onveranderd, totdat de Amerikaanse wiskundige Anthony Phillips in 1967 in Scientific American een eerste versie van dit omkeren publiceerde, vreselijk ingewikkeld. De tweede werd in de begin jaren zeventig ontwikkeld door de Franse wiskundige (blind) Bernard Morin. Ik was de eerste die deze reeks transformaties tekende, zoals ik al eerder zei, en die het onderwerp zal vormen van een volgend artikel op deze site, vrij uitgebreid trouwens. Onze overwegingen leiden tot een bijzondere conclusie. Oppervlakken kunnen worden voorgesteld in polyhedrale vorm. Een kubus of een tetraëder kunnen worden gezien als polyhedrale voorstellingen van een bol, omdat deze objecten dezelfde topologie hebben. Raadpleeg hiervoor mijn strip "Le Topologicon". Bovendien begrijpt men dat als het omkeren van een bol mogelijk is, ook het omkeren van een kubus mogelijk is. De transformatie die Bernard Morin ontwikkelde (die ik in het artikel van januari 1979 van Pour la science heb geïllustreerd) gaat via een centraal model. Er is een symmetrie in deze reeks. Dit heet "het centrale model met vier oren". Ik vooruitlopend. Maar net zoals een bol polyhedraal kan worden voorgesteld, geldt dat ook voor de opeenvolgende stappen van deze transformaties. Het object dat u op mijn startpagina ziet draaien, is dus de polyhedrale versie van het centrale model van het omkeren van de bol, een model dat ik ongeveer tien jaar geleden ontwierp. Het voordeel van deze polyhedrale modellen is dat ze kunnen worden gebouwd met vlakke oppervlakken. Ze kunnen zelfs worden geassembleerd volgens een snijpatroon. Kijk naar de afbeelding hieronder (ik dank hierbij mijn vriend Christophe Tardy, die de correct gecontroleerde onderdelen heeft geproduceerd).
**Dit is een tekening die op uw printer in klein formaat komt, onbruikbaar. **
Om deze figuur op A4-papier te printen U moet er vier kopieën van maken op dik A4-papier, twee bladen in één kleur, twee in een andere.
Het is een snijpatroon waarvan u hier een overzicht ziet. Maar voor het printen is het beter om naar de pagina snijpatroon te gaan. Print die pagina. Neem vervolgens het uitgedrukte exemplaar op het normale papier van uw printer mee naar een fotokopieerapparaat en maak er vier identieke kopieën van, twee op groene bristol en twee op gele. U kunt nu met dit snijpatroon het centrale model van het omkeren van de kubus bouwen.
Op deze gesneden onderdelen ziet u paren van letters: a, b, c, d, e, f, enz. U hoeft alleen maar te vouwen zodat dezelfde letters op elkaar komen, en de vlakken met transparant tape te verbinden. De afbeeldingen hieronder tonen hoe één van de vier onderdelen moet worden opgebouwd. Hier is eerst hoe u moet beginnen met vouwen van één van de vier onderdelen:
Hier zijn twee van deze vier onderdelen, vanuit verschillende hoeken gezien.
Deze onderdelen worden vervolgens samengevoegd tot een object met een vierde-orde symmetrie, waarbij groene en gele onderdelen afwisselen. Om dit in 3D te zien, kijk dan naar de realisaties van de heer Tardy in "virtual reality". Het volledig samengestelde centrale model is ook beschikbaar in "vrml" in deze sectie. Hier is het object, vanuit verschillende hoeken gezien:
Men kan niet zeggen dat één beeld "boven" en het andere "onder" is, omdat die benamingen volledig willekeurig zouden zijn. In de linkerafbeelding komt het "centrale punt" overeen met het "dubbele punt" (waar twee oppervlakken elkaar kruisen) van het centrale model van Morin, terwijl het centrale punt rechts overeenkomt met het "vier-voudige punt" van datzelfde model (waar vier oppervlakken elkaar kruisen). Ik heb het object zorgvuldig georiënteerd, zodat de linkerfiguur geen kruis van het type "gammagewijs" oproept. Anders zou deze polyhedrale voorstelling van het centrale model van Morin, architectonisch gezien, een uitstekend ontwerp kunnen zijn voor een Nationaal Socialistisch Cultuurhuis.
Laatste beeld:
Een laatste opmerking: er bestaat geen goede polyhedrale voorstelling van het omkeren van de bol (ofwel het omkeren van de kubus). Met "goed" bedoel ik een reeks modellen die voldoende duidelijk zijn en relatief eenvoudig kunnen worden samengesteld via snijpatronen, zoals het model hierboven. Een dergelijke zoektocht zou mogelijk zijn voor iedereen, eventueel zelfs voor iemand zonder wiskundige achtergrond, bijvoorbeeld een beeldhouwer. Meer dan twintig jaar geleden was ik docent beeldhouwkunst aan de École des Beaux-Arts in Aix-en-Provence, toen die nog werd geleid door mijn uitstekende vriend Jacques Boullier. In die ruimtes ontstond de eerste meridiaanvoorstelling van de Boyoppervlak, gemaakt met ellipsen, de sleutel tot de eerste impliciete vergelijking van Apéry. Ik moet zeggen dat ik me toen altijd verbaasde over de meetkundige fantasie van de kunststudenten, die vaak veel groter was dan die van... de meetkundigen.
Teller geïnitialiseerd op 31 december 2001. Aantal verbindingen:
Ruimte van virtuele werkelijkheid Terug naar Nieuwigheden
Afbeeldingen
