4
Orthogonale matrices. Orthogonale groepen.
Beschouw een vierkante matrix
a
. De getransponeerde matrix komt overeen met het verwisselen van de termen die symmetrisch zijn ten opzichte van de diagonaal, zoals aangegeven in de figuur:
(38)
We noteren de inverse matrix
a -1
Zij voldoet aan de relatie:
a × a -1 = 1
Vanaf nu zullen we het maalteken × niet meer noteren en simpelweg schrijven:
a a -1 = 1
Wanneer twee vetgedrukte letters naast elkaar staan, beschouwen we dat automatisch als het product van twee matrices.
Een orthogonale matrix is een matrix waarvan de inverse samenvalt met de getransponeerde.
(38b)
Men kan tonen dat:
(38c)
zodat de determinant van een orthogonale matrix gelijk is aan ±1.
Er bestaan orthogonale matrices van elke orde (n,n). Ze vormen groepen
O(n)
O(n) is de verzameling van orthogonale matrices (n,n).
Beschouw de matrices:
(39)
Het zijn orthogonale matrices waarvan de determinant is:
det (
g
) = +1
Het is een deelgroep van de orthogonale groep
O(2), genaamd het "speciale orthogonale groep" SO(2).
We hebben een orthogonale groep O(3), bestaande uit (3,3)-matrices, waarvan de determinant = ±1. Deze heeft een deelgroep SO(3), bestaande uit orthogonale matrices waarvan de determinant +1 is.
In vier dimensies: we hebben de orthogonale groep O(4) en haar deelgroep: de speciale orthogonale groep SO(4).
In n dimensies: orthogonale groep O(n), bestaande uit (n,n)-matrices, waarvan de determinant ±1 is. Deze heeft een deelgroep, genaamd het speciale orthogonale groep SO(n), beperkt tot orthogonale matrices met determinant +1.
Men kan tonen dat de dimensie van een orthogonale groep gelijk is aan (40)
Toepassing op de tweedimensionale ruimte: de dimensie van de groep is 1.
Toepassing op de driedimensionale ruimte: de dimensie van de groep is drie (de drie Eulerhoeken).
Toepassing op de vierdimensionale ruimte: de dimensie wordt zes.
We hebben de gerichte speciale euclidische groep SE(2) geïntroduceerd:
(41)
die rotaties en translaties combineert.
Noem:
(42)
Dan kunnen we de matrix en haar werking op de ruimte schrijven:
(43)
Opmerking:
(44)
In onze tweedimensionale vlakke ruimte, in ons vlak, vinden we objecten zoals:
(45)
Bekijk deze bijzondere objecten:
(46)
Ze behoren tot eenzelfde soort. Als ik elk paar van deze objecten neem, kan ik een element van de groep vinden dat het eerste op het tweede brengt, en omgekeerd.
De tweede deelverzameling objecten:
(47)
behört tot een andere soort.
Ook het derde:
(48)
Maar:
(49)
Ik kan geen combinatie van rotatie a plus translatie
c
vinden die één op het andere brengt.
Kunnen we de gerichte euclidische groep aanpassen om dit mogelijk te maken?
Index Theorie van dynamische groepen