7
We zoeken naar classificatie. Classificatie is gebaseerd op de definitie van soorten.
Twee objecten die tot dezelfde soort behoren hebben een gemeenschappelijke eigenschap.
-
Neem een bol, een specifieke bol.
-
Kijk naar het deelgroep van het grote groep (Euclidische groep) die deze bol invariant laat. Souriau noemt deze deelgroep de
regelmatigheid
van een bol.
- Zoek alle objecten die invariant zijn onder de actie van deze deelgroep. Je vindt alle bollen die op een bepaald punt zijn geplaatst, inclusief de bol met straal nul: het punt.
Dan behoort het punt tot de soort "bollen die rond de oorsprong zijn geplaatst".
Omgekeerd:
-
Neem een punt in de driedimensionale ruimte.
-
Kijk naar de deelgroep van de Euclidische groep die dit punt invariant laat. Je vindt de orthogonale groep O(3).
-
Zoek vervolgens alle objecten die invariant zijn onder de actie van de elementen van deze deelgroep, onder rotatie rond dit punt. Je vindt alle bollen die op dit punt zijn geplaatst en besluit dat dit punt en deze bollen tot dezelfde soort behoren.
Objecten zoals een rechte lijn, een vlak, een cilinder, etc. kunnen als "gebouwd" worden als een soort die verbonden is met een bepaalde specifieke deelgroep.
In de natuurkunde willen we elementaire deeltjes classificeren. Maar je kunt geen deeltje tussen duim en wijsvinger nemen en het met een vergrootglas bekijken. Je kunt alleen het gedrag ervan observeren, zijn
beweging
.
Zeg me hoe je je beweegt, dan zeg ik je wat je bent.
Ik heb een oude vriend, Jean-Louis Philoche, die een uitstekende schaakspeler is. Hij kan blind spelen (in het Frans "jouer à l'aveugle", zonder het bord te zien). Je hoeft alleen maar de beweging van een stuk te vermelden:
b1-c3
Voor niet-spelers:
(90)
Paardensprong
Jean-Louis kan dit alles in zijn hoofd onthouden. Ik weet niet hoe hij dat doet, maar het werkt. Dit bewijst dat schaakstukken niet nodig zijn om te spelen (een computer heeft er geen nodig).
Stel je voor dat je in een kamer zit en twee buren hoort spelen met "een spel". Je ziet ze niet, maar je hoort wanneer ze hun zetten aankondigen.
b2-b3
b7-b5
enzovoort...
Je denkt: ze verplaatsen iets. Wat is dat spel? Je neemt een bord, legt kleine stenen erop en noteert hun opeenvolgende zetten op een vel papier. Noem C de kolomindex en L de rijindex. Een zet komt overeen met:
( D C , D L )
Als |DC| = 1 en |DL| = 1: dit komt overeen met een koningszet.
Als |DC| = |DL|: dit komt overeen met een loperzet (langs een diagonaal).
Als |DC| × |DL| = 0: dit komt overeen met een torenzet.
Als |DC × DL| = 3: dit komt overeen met een paardensprong.
Als DL strikt positief is, komt dit overeen met een witte pion. Als DL strikt negatief is, komt dit overeen met een zwarte pion.
Enzovoort. We bouwen een classificatie van "objecten"
gebasseerd op hun gedrag
.
Een ander beeld. Je hebt een doos met gemengde bouten. Je wilt deze bouten classificeren. Wat heb je nodig? Verschillende moeren.
(91)
-
Neem een bout.
-
Zoek de moer die daarbij past.
-
Selecteer alle bouten die passen bij deze moer. Je krijgt een soort bouten.
Orthogonale groep
O(3).
We kunnen wat hierboven is gezegd in het 2D-geval uitbreiden naar het 3D-geval. We weten hoe we een rotatie in een 3D-ruimte kunnen uitvoeren, ten opzichte van een vast punt, de oorsprong van de coördinaten. Het hangt af van drie hoeken a, b, g, genaamd Euler-hoeken. We zullen geen dergelijke matrix opschrijven, maar we noteren het gewoon:
(92)
det ( a ) = + 1
Het is een orthogonale matrix:
(92b)
De orthogonale groep O(3) bestaat uit alle orthogonale matrices, inclusief die waarvan de determinant -1 is. We noemen deze matrices (93)
Zoals in de vorige sectie kunnen we alle orthogonale matrices verkrijgen uit SO(3) door:
(94)
L is de diagonaalmatrix:
(95)
(96)
Al deze informatie is herhaald, maar het maakt direct de basisymmetrieën zichtbaar.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Er zijn "spiegelmatrices" die de oriëntatie van objecten omkeren, waardoor deze objecten hun spiegelbeeld worden:
(100)
Geef een voorbeeld van gerichte objecten waarvan de oriëntatie door deze spiegelsymmetrie wordt omgekeerd:
(101)
Het is de oppervlakte die is bedacht door Werner Boy, een leerling van Hilbert. Aandacht zal worden besteed aan dit interessante object in de sectie van de site gewijd aan wiskunde. We hebben een deel van het oppervlak verwijderd om het drievoudige punt T te laten zien.
Je kunt een van deze objecten "rechts" of "links" noemen. Niemand heeft ooit aangegeven wat de rechterrotatiebeweging van het oppervlak van Boy is. In ieder geval: waarom zou je het oppervlak van Boy laten draaien? Sommigen zeggen dat het kan vliegen, maar ik ben sceptisch.
Daarna:
(102)
(103)
(104)
Zoals in de 2D-geometrie (symmetrie ten opzichte van de oorsprong) is de symmetrie ten opzichte van de x-as gelijk aan een rotatie van
p
.
Tot slot:
(105)
die de oriëntatie van objecten veranderen.
Index Theorie van Dynamische Groepen
Oorspronkelijke versie (Engels)
7
We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
-
Take a sphere, a peculiar sphere.
-
Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the
regularity
of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
-
Take a point of a three-dimensional space.
-
Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
-
Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its
movement
.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90)
Horse's move
Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3
b7-b5
and so on.....
You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( D C ,
D L )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"
based on their behaviour
.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
Orthogonal group
O(3).
We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det (
a
) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
Lbeing the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of
p
.
Finally :
(105)
which change the orientation of objects.
Index Dynamic Groups Theory