9
Over de componenten van de groep.
O(2) is een groep die bestaat uit twee componenten:
-
Zijn neutrale component
(een ondergroep SO(2) die het neutrale element 1 bevat). -
De rest van de elementen.
Als we een tweedimensionale euclidische groep vormen op basis van O(2):
(112)
dan heeft deze groep twee componenten. Zijn neutrale component wordt opgebouwd uit de elementen van SO(2).
(113)
We noemen het de
speciale
euclidische groep: met deze groep kan men de oriëntatie van een “letter”, zoals R, niet omkeren.
De euclidische groep met beide componenten wordt de
volledige groep
genoemd.
Ten opzichte van de speciale groep, ondergroep van de volledige euclidische groep:
(114)
behoren tot twee verschillende soorten, omdat er geen element
g
EO
bestaat in deze groep GSE (of SE(2)) dat de eerste letter in de tweede kan omzetten, en omgekeerd.
Ten opzichte van de volledige groep behoren deze twee letters tot dezelfde soort, omdat er een element
g E
bestaat in de groep G
E (symmetrie, behorend tot de tweede component) dat één van deze twee letters in de andere kan omzetten.
Evenzo heeft de euclidische groep in drie dimensies (de “volledige” euclidische groep):
(115)
twee componenten. De eerste, de
neutrale
component, is een ondergroep gevormd door de elementen van SO(3):
(116)
We noemen deze neutrale component de speciale euclidische groep SE(3). Ten opzichte hiervan behoren een rechterhand en een linkerhand tot verschillende soorten, omdat er geen element
g
SE
bestaat in de groep G
SE
dat een linkerhand kan omzetten in een rechterhand, en omgekeerd.
Ten opzichte van de volledige groep behoren ze tot dezelfde soort.
Korte opmerking:
Wanneer een man zijn spiegelbeeld bekijkt, ziet hij dat zijn linker- en rechterhand verwisseld zijn. Waarom zijn dan zijn hoofd en voeten niet ook verwisseld?
Het antwoord wordt gegeven door de Franse wiskundige J.M. Souriau:
(116b)
Andere, technischere opmerking. Vanuit de georiënteerde euclidische groep kan de volledige euclidische groep worden opgebouwd met behulp van een scalaire l = ± 1
(116c)
de elementen waarvoor l = -1 behoren tot de tweede component en “keer de ruimte om”, zodat objecten worden omgezet in hun enantiomorfe afbeeldingen.
Uitbreiding naar de PT-groep in 4D.
Laten we beginnen bij de speciale orthogonale groep:
(118)
en bouwen vervolgens de PT-groep op met (4,4)-matrices:
(119)
Het is een groep met vier componenten (l = ± 1; m = ± 1).
Deze groep werkt op ruimtetijd via de volgende actie:
(120)
Merk op dat we het ook zo konden schrijven:
(121)
Maar dit verandert niets, omdat de fundamentele actie niet verandert.
Onder deze vier componenten hebben we de neutrale component, de groep
(georiënteerd in de ruimte, georiënteerd in de tijd).
(122)
We hebben:
(123)
Merk op dat:
(124)
g
SOTO
is ook een orthogonale matrix. Orthogonale matrices worden gedefinieerd door deze axiomatische eigenschap.
Let op dat we de axiomatische eigenschappen van specifieke matrices veel vaker zullen gebruiken dan de matrices zelf. Voor de SO(2)-groep hebben we expliciet de matrices geschreven. Maar voor SO(3) en O(3) zullen we dat niet doen, omdat het niet nodig is en de berekeningen onnodig ingewikkeld zou maken. Het is veel efficiënter en eleganter om gebruik te maken van de axiomatische eigenschappen van de matrices van de groep.
Vooruitlopend overwegen we de matrices die gedefinieerd zijn door:
(125)
waar:
(126)
In diagonaalvorm:
(127)
Daarnaast:
(128)
Toon aan dat deze matrices een groep vormen.
Overweeg:
(129)
en vorm:
(130)
Het product van dergelijke veralgemeende Lorentzmatrices volgt dan het axioma.
Toon aan dat de inverse matrix tot de groep behoort:
(131)
Bereken de inverse matrix.
(132)
(132b)
correspondeert met het bijzondere geval:
(132c)
De vorm van deze matrix komt overeen met de metriek van ruimtetijd (zoals we nogmaals zullen zien, met Lorentzmatrices, verderop, bij het behandelen van de relativistische wereld).
(133)
met een ruimtetijdvector
De relatie komt overeen met de elementaire kwadratische vorm:
(134)
met:
(134b)
waardoor:
(135)
ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct is een “chronologische variabele”.
Dit komt overeen met een euclidische ruimtetijd, waarin de snelheid:
(136)
niet beperkt is.
Index Theorie van dynamische groepen
Oorspronkelijke versie (Engels)
9
About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
-
Its neutral component
( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ). -
The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
We call it
Special
Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R.
The Euclid's group with its two components is called the
complete group
.
With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element
g
EO
of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element
g E
of the group G
E ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the
neutral
one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element
g
SE
of G
SE
which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
g
SOTO
is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such
generalized Lorentz matrixes
obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132)
(132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135)
ds 2
= dx°
2
-
dx 2
-
dy 2
-
dy 2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.
Index Dynamic Groups Theory