Sprzedaż Powierzchnia Dziedzica

Brak nazwy dokumentu

30 grudnia 2009

Sprzedałem powierzchnię Boya, którą stworzyłem

Oto ono: ten obiekt o rozpiętości metr czterdzieści wyruszył dziś rano do Belgii, zakupiony przez lekarza, Piotra, który jest również wiernym czytelnikiem komiksów Lanturlu i znał już ten obiekt z lektury albumu Topologicon, który można bezpłatnie pobrać ze strony Savoir sans Frontières pod adresem:

****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm

Topologicon jest cytowany na stronie Wikipedii, ale link nie prowadzi do strony pobierania z serwisu Savoir sans Frontières, co jest dość żałosne. Ktoś może dodać ten link, ale ja sam nie mogę tego zrobić, ponieważ w październiku 2006 roku zostałem "na zawsze wykluczony" z Wikipedii (za ujawnienie tożsamości uczestnika, byłego studenta École Normale Supérieure, który dzięki doktoratowi z fizyki teoretycznej na temat superstrun uzyskał stanowisko w banku).

Ten obiekt był wystawiany przez dwadzieścia pięć lat w "salce pi" Palais de la Découverte w Paryżu. Zabrałem go kilka lat temu, kiedy dyrekcja Palais chciała w tej sali umieścić mały drewniany amphiteatr. Wolałem go odzyskać, zanim zostanie zgnieciony, przechowywany w jakiejś zapasowej komorze jako "nauka zużywalna".

Kiedy w Palais odbyła się wystawa poświęcona różnym teoriom dotyczącym budowy piramid, warsztaty stworzyły dość ładną małą modelkę o wymiarach 50 cm na 50 cm, pokazującą kąty nasypu z kamienia. Chciałem ją odzyskać, ale na ostatnich informacjach została stracona. Albo, jako zużywalna nauka, trafiła do śmietnika. Może ktoś z czytelników pomoże mi wyjaśnić?

Kiedy odwiedzamy Cité des Science, zaskakuje nas panowanie wirtualności, ekranów plazmowych pokazujących to lub tamto. Na tyle, że chce się pomyśleć: „Dlaczego przyjeżdżać tutaj, skoro mogę to samo uzyskać w domu dzięki Internetowi?”

Wirtualne światy, zużywalna nauka – czy mają one duszę?

To w stylu czasu.

Dlaczego powierzchnia Boya jest ważna w matematyce? W kategorii zamkniętych powierzchni dwuwymiarowych bez punktów osobliwych znajdziemy tylko cztery:

Trzy pierwsze były nam znane od dawna. Czwarta była bardziej tajemnicza. Dopiero na przełomie lat siedemdziesiątych i osiemdziesiątych, kiedy byłem profesorem rzeźby na École des Beaux Arts w Aix-en-Provence, stworzyłem pierwszą reprezentację tej powierzchni z dwiema rodzinami krzywych, równoważnymi zbiorom południków i równoleżników sfery S2. Jak widać w komiksie, powierzchnia wynaleziona przez niemieckiego matematyka Werner Boya, ucznia Hilberta, to efekt przekształcenia punktów sfery na siebie, przy czym każdy punkt jest dopasowany do swojego antypoda. W ten sposób biegun północny jest dopasowany do bieguna południowego. Południki sfery „zawijają się na południki Boya”.

Od razu miałem pomysł, by zidentyfikować jedną z rodzin krzywych z elipsami.

W tamtym czasie młody Jérôme Souriau mógł używać Apple II swojego matematycznego ojca. Pewnego dnia powiedziałem mu:

*- Czy chciałbyś dla mnie wykonać pracę, która dałaby nam publikację w dziedzinie matematyki? *

A Jérôme odpowiedział:

*- Kogo mam zabić, żeby to osiągnąć? *

Chodziło jedynie o dokonanie pomiarów na elipsach za pomocą kątomierza i linijki, aby stworzyć krzywe, a następnie ich reprezentację za pomocą szeregu Fouriera. Wykonał to w ciągu jednego południa. Notatka do Comptes rendus de l'Académie des Sciences w Paryżu została przyjęta bez trudności. Zobacz tę reprodukcję notatki

Te równania pozwoliły Colonne, kierującemu pierwszemu warsztatowi grafiki komputerowej na École Polytechnique w Paryżu, na stworzenie pierwszych obrazów tego obiektu, ale bez podania równań, które wykorzystał (co jest dość powszechne w „społeczności naukowej”).

Obraz stworzony na podstawie reprezentacji JP PETIT – Jérôme Souriau, z trzema brzydkimi zgięciami, wynikającymi z niedokończonej reprezentacji Fouriera.

Później liczba reprezentacji parametrycznych się zwiększyła. Poniżej przedstawiona jest reprezentacja R. Bryanta:

Ta druga odkrycie, czyli parametryzacja za pomocą elips południkowych, pozwoliła matematykowi Apéry, uczniowi matematyka Bernarda Morina z Strasburga, na stworzenie pierwszej reprezentacji powierzchni w formie implikowanej, szóstego stopnia. (W swojej rozprawie doktorskiej przypisuje tę wynalazkę plastycy Max Sauze, doktorowi z łączenia srebra):

f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0

Strasznie skomplikowane.

Obraz powierzchni Boya, stworzony przy użyciu implikowanej reprezentacji Apéry, z „południkami elipsowymi” J.P.Petit

Na stronie Wikipedii, na tej stronie, znajdzie się animacja, inspirowana flip-bookem, który można znaleźć w Topologicon (1988). To samo dotyczy reprezentacji wielościennej powierzchni (inna wynalazek mojego, również obecna w albumie), z zaokrąglonymi krawędziami.

W 1988 roku matematyk Brehm zaprezentował inną reprezentację wielościanową, z dziesięcioma ścianami, a twierdzenie mówi, że obiekt nie może mieć mniej niż 9 ścian...

Ściana Brehma

Do gustu i kolorów nie ma spornych dyskusji.

Wróćmy do reprezentacji Apéry, jedynego znanej reprezentacji implikowanej. Dlaczego ta powierzchnia jest tak niezgodna (a więc jej równanie tak skomplikowane)?

Apéry, prowadzony przez Morina, nie wykorzystał trójkrotnej symetrii obiektu. Równanie ustawia oś OZ jako oś symetrii; to błąd. Lepszy wynik uzyskalibyśmy, wybierając jako oś symetrii wektor (1, 1, 1). Wtedy symetria trójkrotna dałaby równanie niezmiennicze przy zamianie współrzędnych x, y, z. Co więcej, ustawiając początek współrzędnych w punkcie potrójnym i decydując, że trzy płaszczyzny styczne do powierzchni są głównymi płaszczyznami, usunęlibyśmy wyrazy drugiego, pierwszego i zerowego rzędu, a wyraz trzeciego rzędu sprowadziłby się do

x y z

Taka symetria jest wykorzystywana w powierzchni odkrytej w 1844 roku przez Steiner w Rzymie, która później została nazwana powierzchnią rzymską Steiner, której równanie brzmi:

Spójrzmy na powierzchnię:

Powierzchnia rzymska Steiner

Składa się również z elips, jak i ta ostatnia, jest jednostronna, więc nieprzydatna.

Rodziny elips powierzchni rzymskiej

Powierzchnia rzymska nie jest „prawa ani lewa”, podczas gdy istnieją dwie wersje Boya, enantio-morficzne, lustrzane. Jedna „prawa” i jedna „lewa” powierzchnia Boya. W 2003 roku (jak szybko płynie czas) pokazałem podczas seminarium na wydziale geometrii w Saint-Jérôme w Marsylii, że można przekształcić powierzchnię Boya „prawą” w „lewa”, przechodząc przez powierzchnię rzymską Steiner.

/legacy/science/maths_f/Crosscap_Boy1.htm

Autor wykładający na matematyce

Niektórzy czytelnicy dobrze posługują się narzędziami grafiki komputerowej. Przechodząc przez wskazany katalog, skanując i interpolując, można stworzyć animację. Jeśli ktoś chce spróbować...

To zabawne, animacje. Stworzyłem tę właśnie za pomocą mojego programu CAD, który stworzyłem: Screen, który przedstawia środkowy etap odwrócenia sześcianu (czyli wersję wielościanową modelu czterokłody z Morina).

Środkowy etap odwrócenia sześcianu

W tym obszarze można zrobić wiele rzeczy. Chciałbym jedynie wskazać kierunek dla kandydatów na doktorat z matematyki. Istnieje reprezentacja implikowana powierzchni Boya, której południki są elipsami, a to właśnie to równanie wstąpi do historii matematyki, razem z nazwiskiem tego, kto wydobyje je z jego otoczki. Pozostaje do znalezienia. Punkt wyjścia: wykorzystać trójkrotną symetrię, jak wyżej wskazano.

Powodzenia w poszukiwaniach...

Tak więc powierzchnia Boya, która ozdabiała salę pi Palais de la Découverte, odjechała do Belgii. Chciałbym, żeby została stworzona monumentalna rzeźba, „przebywalna”, o wysokości dwudziestu metrów. To przynajmniej miałoby charakter. Ale nie, plastycy z północy wypełnili to miejsce rzeźbami bez duszy, bez struktury, pozbawionymi jakichkolwiek bogactw.

Ale nie chciałem zachować zdjęcia tego fantastycznego obiektu. Zrozumie się dlaczego ---

Najnowsze informacje Przewodnik (indeks) Strona główna

Obrazy