grupy i działanie koadointowe pędu fizyczny
| 7 |
|---|
Element gp grupy Poincarégo Gp jest określony przez ciąg parametrów {pi}, których liczba, jak już wspomnieliśmy, odpowiada wymiarowi grupy. Macierz dg (g = e) składa się z wielkości {dpi}. Zatem powyższe przekształcenie ma postać:
(81)
Innymi słowy, zbiorowi skalarnych dpi przyporządkowujemy równą liczbę skalarnych dpi'. Dualność polega na założeniu niezmienniczości pewnego skalaru, zgodnie z:
(82)
gdzie n oznacza wymiar grupy (dziesięć dla grupy Poincarégo). Skalary Ji reprezentują składowe pędu, liczba których jest taka sama.
Zdecydujemy się rozłożyć ten pęd J na dwa obiekty. Pierwszy będzie antysymetryczną macierzą M o wymiarze (4,4), mającą więc sześć składowych, a drugi — „czterowektor” P, macierz o wymiarze (4,1):
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } Zapiszemy iloczyn skalarny w postaci:
(85)
gdzie Tr oznacza „ślad macierzy”, a mamy również:
(86)
co jest formą liniową, której niezmienniczość zapewnia dualność.
przy czym:
(87) (87b)
(87c)
ale GG = 1, więc to daje:
(88)
Identyfikujemy wyrazy z y (89)
to znaczy:
(90)
----> Tutaj następują szczegółowe obliczenia macierzowe. Jeśli chcesz, klikając tutaj możesz przejść bezpośrednio do wyniku.
W śladowi można wykonać cykliczną permutację składników.
(90a)
(90b)
(90c)
drugi składnik prawej strony jest równy iloczynowi macierzy wierszowej przez macierz kolumnową.
To jest równe śladowi iloczynu odwrotnego (poniżej schematycznie iloczyn macierzy wierszowej przez macierz kolumnową):
(90d)
W tym śladowi mogę wykonać cykliczną permutację:
(90e)
Stąd:
(90f)
(90g)
Tutaj ponownie stosujemy twierdzenie o śladach macierzy, które są iloczynem innej macierzy przez macierz symetryczną.
Każda macierz może być zsymetryzowana lub zantysymetryzowana. Ponadto ślad iloczynu macierzy przez macierz symetryczną jest równy zeru.
(90h)
Mogę to zastosować do macierzy (90i), ponieważ bierzemy ślad:
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
ale:
(90l)
więc
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
i:
(90q)
na końcu:
(90r)
Po połączeniu i przestawieniu primów otrzymuję działanie grupy:
Obrazy
