Matematyka geometria przekształcenia powierzchnie

Jak przekształcić powierzchnię Cross Cap
w powierzchnię Boya (prawą lub lewą, według wyboru),
przechodząc przez powierzchnię romanską Steiner'a.

Włoski: Andrea Sambusetti, uniwersytet w Rzymie

../../Crosscap_Boy1.htm

27 września - 25 października 2003

Strona 1

Jak powiedziałby Kipling, to wymaga „dużej sprytu i magicznej siły”.

Jestem emerytem, ale mogę powiedzieć, że nadal robię trochę badań „przeciwko sobie”, jak inni w czasie wolnym robią haft. Jeśli macie cierpliwość i zdobędziecie kartoniki bristolowe 200 g z kratką, możecie sami odtworzyć wszystkie te modele. Mój przyjaciel Christophe Tardy buduje na ich podstawie animację, która nie powinna być zła.

Powierzchnia Cross Cap pojawi się na kolejnych rysunkach, podobnie jak powierzchnia romanska Steiner'a. Ale możecie ją odkryć, przechodząc do sekcji Realność Wirtualna, do której konieczne jest pobranie programu Cosmoplayer na komputer. Zróbcie to – naprawdę ładnie wygląda. Wszystko dzieje się wokół „punktów szpiczastych”. Te punkty powstają naturalnie, gdy jeździsz konno i mocno zaciskasz uda. Ciało konia będzie wtedy spłaszczone wzdłuż odcinka. Prawa uda przylegnie wzdłuż tego odcinka do prawego ramienia, a lewe do lewego ramienia. A co do punktu szpiczastego – nie szukajcie go: po prostu na nim siedzicie.

Ale wszystko to jest narysowane... zaokrąglone. Przejdźmy do „wielościanowej reprezentacji” punktu szpiczastego (tak jak sześcian lub czworościan mogą być traktowane jako wielościanowe reprezentacje prostej sfery). Grubsza linia reprezentuje „krzywą samoprzecięcia”, kończąca się w punkcie szpiczastym C.

Wydrukujcie te tabele – będzie lepiej. W dalszej części będziecie potrzebowali umieć rozpoznać punkt szpiczasty w „różnych konfiguracjach” i nie mylić go z prostym wierzchołkiem wielościanu. Zbudujcie, jeśli czujecie się na siłach, te różne przedmioty z kartonu – zrozumiecie to lepiej. Poniżej mamy istotną operację, zwaną „tworzenie-rozpadanie pary punktów szpiczastych”. Pierwszy rysunek przedstawia rodzaj cylindra, który się sam przecina wzdłuż narysowanego grubą linią odcinka, którego przekrój przypomina odwróconą grecką literę gamma. Deformujemy teraz tę powierzchnię „ściągając” rurę, której przekrój przypomina odwróconą łzę. Robiąc to, spowodujemy degenerację tej „łzy” w punkt S. Następnie ten punkt rozdziela się, tworząc dwie punkty szpiczaste. To jest operacja tworzenia pary punktów szpiczastych. Operacja odwrotna, przeciwnie, niszczy dwie punkty szpiczaste. Poniżej znajduje się wersja wielościanowa tej operacji.

Poniżej znajduje się inna reprezentacja wielościanowa przekształcenia, przypominająca to, co zobaczycie powstające na powierzchni wkrótce.

Następna strona

Wróć do indeksu „Przekształcanie Cross Cap w powierzchnię Boya”

Wróć do sekcji Nowości Wróć do sekcji Przewodnik Wróć do Strony głównej

Liczba odwiedzin od 25 października 2003 roku:

Obrazy