Geometria powierzchni Boya model wielościanowy powierzchnia romanska Steiner

Jak przekształcić powierzchnię Cross Cap
w powierzchnię Boya (prawą lub lewą, według wyboru)
przechodząc przez powierzchnię romanska Steiner.

Włoski: Andrea Sambusetti, Uniwersytet Rzymski

../../Crosscap_Boy1.htm

27 września - 25 października 2003

strona 4

Pokażemy model z jeszcze innego punktu widzenia:

Tabela 14: ponownie wykonujemy tę samą operację, tworząc trzeci "uszko" krzywej samoprzecięcia. W modelu wielościanowym ostatnia ma kształt trzech kwadratów mających wspólny wierzchołek: punkt potrójny T.

Tabela 15: obracając obiekt, odnajdziesz wielościanową wersję powierzchni Boya, którą przedstawiłem w Topologicon (gdzie możesz znaleźć również plan montażu pozwalający na jej zbudowanie).

Ostatnia tabela: próbowałem przedstawić powierzchnię Steiner, gdy się skręca i przekształca w powierzchnię Boya.

Widzimy, że narysowana w "okrągłym" kształcie, potrzeba sporo praktyki, by ją zrozumieć. Nasze oko bardzo się niepokoi, gdy chodzi o zrozumienie obiektu, w którym na jednej linii widzenia nakładają się więcej niż dwie powierzchnie. Stąd interes modelu wielościanowego, który sprawia, że nawet zwykli ludzie, jeśli spróbują sami zbudować miniatury, mogą doświadczyć przekształceń uznawanych za skomplikowane w geometrii. Zauważmy w przelocie, że w zależności od wybranych par punktów szczytowych otrzymujemy powierzchnię Boya „prawą” lub „lewą” (definicje całkowicie dowolne). Płaszczyzna rzutowa wchodzi w przestrzeń poprzez dwie „antyautomorficzne” odbicia lustrzane. Widzimy więc również, że można przejść od powierzchni Boya prawej do powierzchni Boya lewej poprzez „środkowy” model, którym jest powierzchnia romanska Steiner.

Byłoby pewnie miło, gdyby te rysunki zostały opublikowane w czasopismach takich jak Pour la Science lub La Recherche. Ale od dwudziestu lat jest mi „zabronione” publikowanie w tych czasopismach z powodu „ufologicznego odchylenia”. Dziękuję, panowie Hervé This i Philippe Boulanger. Nie pamiętam już, ile artykułów tego typu proponowałem tym czasopismom i które zostały mi uprzejmie odrzucone. W końcu przyzwyczajamy się do swojego statusu wykluczonego.

Na marginesie: istnieje „Nagroda d’Alembert” przeznaczona do wyróżnienia autorów książek popularnonaukowych z matematyki. Historię opowiedział mi członek komisji odpowiedzialnej za decyzję, kto otrzyma nagrodę (choć za tym stoi oczywiście kwestia pieniędzy). Dialog:

No cóż, dlaczego nie damy nagrody Petit? Napiszał znakomite dzieła, takie jak „Géométricon”, „Trou Noir” i „Topologicon”.
Tak, ale nie zrobił tylko tego.
Na co wskazujesz?
Napiszał też „Mur du Silence”.
Ach, no to...

Tak, „Mur du Silence”, wydane w 1983 roku, to album poświęcony MHD. I, jak każdy z nas wie, ta próchniawa nauka ma zaletę, albo wadę, polegającą na tym, że umożliwia dyskom latającym poruszanie się z prędkością naddźwiękową bez wybuchu.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

W moich skrzynkach znajduje się piękna wersja „odwrócenia sześcianu”, która nie jest wersją wielościanową wariantu Morin. Wszystko moje. Jednego z tych dni...

22 października 2003: Nie trudno się nad tymi stronami zbytnio zastanawiać, jeśli mogę wierzyć licznikowi. W poniedziałek 13 października 2003 roku wygłosiłem seminarium w CMI (Centrum Matematyki i Informatyki w Château-Gombert-Marseille) na zaproszenie Trotmana. Wtedy udało mi się wydobyć kolekcję około trzydziestu modeli z papieru, które kiedyś będą mogły być zaszczycone dla Was, ponieważ zostały sfotografowane przez Christophe Tardy.

Podczas wykładu tworzy się pewna atmosfera. Na poniższym zdjęciu widać geometryka, który wyraża swoje zdziwienie.

Na tle część modeli wystawionych z pomocą mojego długofalowego współpracownika, Borisa Kolewa, członka departamentu, również geometryka. W pewnym momencie zadałem pytanie:

Ile z was już widziało powierzchnię romanska Steiner? Podnieście rękę.

Nikt jej nigdy nie widział. Uważałem więc za użyteczne przedstawić ten obiekt, za pomocą programu wirtualnej rzeczywistości na laptopie, który miałem przy sobie, programu stworzonego z pomocą Christophe Tardy, inżyniera, i Frédéric Descamp, z Instytutu Laue Langevin w Grenoble (ILL). Oczywiste jest, że ta prezentacja zaskakuje publiczność, mało przyzwyczajoną do tego, by matematyczne powierzchnie wykonywały dowolne skręty.

Dwie tablice papierowe, widoczne na pierwszym planie, pozwoliły przedstawić całą sekwencję modeli w logicznej kolejności. Modele zielone i żółte ilustrują w wersji wielościanowej narzędzie kluczowe do tworzenia i rozkładania pary punktów szczytowych. Biały obiekt bardziej oddalony to wersja wielościanowa powierzchni Cross Cap, która najpierw przekształca się w wersję wielościanową powierzchni romanskiej Steiner, a następnie, o metr dalej, według wyboru, w powierzchnię Boya „prawą” lub „lewą”.

Analiza modeli wywołuje różne spostrzeżenia wśród publiczności. Jeden z geometryków pyta:

*- Jeśli rzeczywiście, idąc po modelach w tej kolejności, można przejść od powierzchni Cross Cap do powierzchni Boya, to wydaje się, że idąc w przeciwnym kierunku, można przekształcić powierzchnię Boya w powierzchnię Cross Cap. *

Odpowiadam pozytywnie. Zmęczony, mój rozmówca dodaje:

*- W takim razie, jeśli na etapie powierzchni romanskiej Steiner się zatrzymamy, powinno być możliwe powrócenie do powierzchni Boya, ale odbitej względem początkowej. *

Zgadzam się po raz drugi. Ale niestety, nikt nie zaoferuje wyjaśnienia tego dziwnego świata, w którym dozwolone są punkty szczytowe w immersionach zamkniętych powierzchni, tworzone lub rozkładane parami, których zbiór stanowi rodzaj rozszerzenia świata immersionów. Słowo „summersion” wydaje mi się odpowiednie. Jeśli czytelnik potrafi coś wyjaśnić, będzie mile widziany.

Krzywizna skupiona w punkcie szczytowym.

Obliczymy ją, sumując kąty w wierzchołku i porównując tę sumę z wynikiem uzyskanym w przypadku płaszczyzny euklidesowej: 2p.

W lewym górnym rogu widzisz jedną z wielu możliwych reprezentacji wielościanowych punktu szczytowego. „Rozkładając” powierzchnię dochodzimy do sumy kątów przekraczającej wartość 2p o 2a. Wynika stąd, że skupiona wokół tego punktu C krzywizna kątowa wynosi -2a. Jeśli kąt a wynosi p/2, to krzywizna ujemna wynosi -p (rys. w lewym dolnym rogu). W rzeczywistości krzywizna punktu szczytowego może przyjmować nieskończenie wiele wartości. W prawym dolnym rogu podkreśliliśmy sumę kątów i krzywizna staje się wtedy < -p (zwiększyliśmy krzywiznę ujemną).

Działając odwrotnie, możemy osiągnąć dość zaskakującą sytuację: możemy sprawić, by krzywizna (kątowa) skupiona w C była... zerowa:

Zacznijmy teraz od reprezentacji wielościanowej powierzchni Cross Cap z dwoma punktami szczytowymi, każdy o krzywiznie równej -p:

Na tym rysunku znajduje się osiem „pozycjonów” o wartości +p/2. Dodajmy cztery inne „pozycjony” o krzywiznie +p/4 i cztery „negacjony” o krzywiznie -p/4.

Dodatkowo dwa punkty szczytowe o krzywiznie -p.

Łącznie: 2p

Dzieląc wartość tej „całkowitej krzywizny” przez 2p, otrzymujemy wartość charakterystyki Eulera-Poincarégo dowolnej reprezentacji płaszczyzny rzutowej (lub powierzchni Boya).

Podczas wykładu wspomniałem o sztuce i sposobie zamiany dwóch punktów szczytowych powierzchni Cross Cap za pomocą odwrócenia sfery. Nie pamiętam już, czy to gdzieś umieściłem na mojej stronie. To takie zamieszanie. Muszę to poszukać, inaczej dodam. To zabawne. Fakt jest taki, że ta operacja nie podobała się jednej z osób obecnych na seminarium:

Nie widzę, dlaczego Petit używa tak wielkiego sprzętu, by udowodnić symetrię łączącą dwa punkty szczytowe Cross Cap. Można to zrobić znacznie prostszym sposobem.

I na tablicy narysował sferę spłaszczoną między dwoma linijkami, które się stykają, dając w efekcie zbiór samoprzecięć w kształcie odcinka, na końcach którego znajdują się dwa punkty szczytowe, jak powierzchnia Cross Cap. Niestety, i pan w kwestii to zauważył, to nie jest powierzchnia Cross Cap.

Cóż, a co to w takim razie jest? Zapytał ktoś.

To po prostu immersion sfery z dwoma punktami szczytowymi. Gdybyśmy je złączyli w jeden punkt, uzyskalibyśmy linię samoprzecięć, która staje się okręgiem. I otrzymujemy (w prawym dolnym rogu) immersion sfery, którą pozostaje tylko przekształcić w jej standardowe embedowanie. Możemy również przedstawić tę powierzchnię w wersji wielościanowej:

Jest to powierzchnia dwustronna o całkowitej krzywiznie 2p.

W każdym razie, można się bardzo rozśmieszyć z tych „summersionów”. Rozważmy immersion torusa uzyskanego przez obrót symbolu „nieskończoność” wokół osi:

Technika łączenia punktów szczytowych w jeden punkt pozwala szybko osiągnąć standardowe embedowanie torusa, jak wyjaśniono powyżej na kolejnych rysunkach.

Ale rzeczy nie zawsze są tak proste i oczywiste. Weźmy na przykład sferę spłaszczoną między dwoma odcinkami, które tym razem są krótsze niż średnica. Nadal otrzymujemy dwa punkty szczytowe.

Ponieważ ta powierzchnia zawiera pas Moebiusa, jest jednostronna. Przykleiliśmy obok jej reprezentację wielościanową, która pozwala obliczyć jej całkowitą krzywiznę. Otrzymujemy wtedy zero. Jeśli się nie mylę, powinna to być butelka Kleina. Zazwyczaj znamy tylko jej klasyczną immersion, w której linia samoprzecięć jest prostym okręgiem. Ale istnieją inne, takie jak ta tutaj. Przyznaję, że jeszcze nie znalazłem sposobu na przekształcenie jej w zwykłą butelkę Kleina. Poza tym, nie wiem nawet, czy ta „immersion” i klasyczna należą do tej samej klasy homotopii (na przykład dla sfery istnieje tylko jedna). Z góry nie jest to pewne: torus może być zanurzony w przestrzeni trójwymiarowej czterema różnymi sposobami, które nie mogą być przekształcone w siebie przez regularną homotopię. W oczekiwaniu na odkrycie, czy jest to możliwe w tym przypadku, zabawiłem się, tworząc dwa dodatkowe punkty szczytowe, otrzymując w ten sposób dwie Cross Cap połączone rurką. Rozkładając je, odkrywamy, że charakterystyka Eulera-Poincarégo wynosi zero.

Ta dziwna powierzchnia powinna przekształcić się w jedną z czterech możliwych immersion butelki Kleina, ale którą? W każdym razie, oto jedna uzyskana przez obrót liczby 8 wokół osi, podczas gdy ta sama liczba wykonuje w tym czasie pół obrotu wokół siebie:

Poprzednia strona

Wróć do indeksu „Przekształcenie Cross Cap w Boya”

Wróć do sekcji Nowości Wróć do sekcji Przewodnika Wróć do Strony Głównej

Liczba odwiedzin od 25 listopada 2004