Geometria powierzchni – matematyczne modele

Jak przekształcić powierzchnię Cross Cap
w powierzchnię Boya (lewo- lub prawostronną, według wyboru)
przechodząc przez powierzchnię Steiner-Romana.

Włochy: Andrea Sambusetti, uniwersytet w Rzymie

../../Crosscap_Boy1.htm

27 września – 25 października 2003

strona 4

Pokażemy model z jeszcze innego punktu widzenia:

Tabela 14: ciągle powtarzamy tę samą operację, tworząc trzeci „uszyk” krzywej samoprzecięcia. W modelu wielościanowym ostatni ma kształt trzech kwadratów mających wspólny wierzchołek: punkt potrójny T.

Tabela 15: obracając przedmiot, odnajdziesz wielościanową wersję powierzchni Boya, którą przedstawiłem w Topologicon (gdzie można znaleźć również plan montażu umożliwiający jej zbudowanie).

Ostatnia tabela: próbuję przedstawić powierzchnię Steiner, gdy się wykręca i przekształca w powierzchnię Boya.

Widzimy, że narysowana „w kółko”, potrzebuje to sporo ćwiczeń, by ją zrozumieć. Nasze oko bardzo się niepokoi, gdy chodzi o postrzeganie obiektu, na którym na jednej linii widzenia nakładają się więcej niż dwie powierzchnie. Stąd wartość modelu wielościanowego, który pozwala każdemu, jeśli tylko spróbuje samemu zbudować miniatury, zrozumieć przekształcenia uznawane za skomplikowane w geometrii. Zauważmy w przelocie, że w zależności od wybranych par punktów skrawkowych otrzymujemy powierzchnię Boya „prawo-” lub „lewostronną” (definicje całkowicie dowolne). Płaszczyzna rzutowa wchodzi w przestrzeń poprzez dwie „antyautomorficzne” odbicia lustrzane. Widzimy więc również, że można przejść od powierzchni Boya prawostronnej do powierzchni Boya lewostronnej poprzez „środkowy” model, którym jest powierzchnia Steiner-Romana.

Byłoby pewnie miło, gdyby te rysunki zostały opublikowane w czasopismach takich jak Pour la Science czy La Recherche. Ale od dwudziestu lat jest mi „zabronione” publikowanie w tych czasopismach z powodu „ufologicznego odchylenia”. Dziękuję, panowie Hervé This i Philippe Boulanger. Nie pamiętam już, ile artykułów tego typu proponowałem tym czasopismom i które zostały mi uprzejmie odrzucone. W końcu przyzwyczaja się się do swojego statusu wykluczonego.

Na marginesie: istnieje „Nagroda d’Alembert” przeznaczona do wyróżnienia autorów książek popularnonaukowych z matematyki. Historię opowiedział mi członek komisji decydującej, kto ma otrzymać nagrodę (choć za tym stoi oczywiście kwestia pieniędzy). Dialog:

No więc dlaczego nie damy nagrody Petitowi? Napiszał znakomite dzieła, jak „Géométricon”, „Trou Noir” i „Topologicon”.
Tak, ale nie zrobił tylko tego.
Na co wskazujesz?
Napiszał też „Mur du Silence”.
Ach, no to...

Tak, „Mur du Silence”, wydany w 1983 roku, to album poświęcony MHD. I, jak każdy z nas wie, ta próchniawa nauka ma zaletę, albo wadę, że pozwala dyskom latającym poruszać się z prędkością naddźwiękową bez wybuchu.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

W moich skrzynkach mam wspaniałą wersję „odwrócenia sześcianu”, która nie jest wersją wielościanową wariantu Morin. Wszystko moje. Jednego dnia...

22 października 2003: Nie trudno się nad tymi stronami zbytnio zastanawiać, jeśli mogę wierzyć licznikowi. W poniedziałek 13 października 2003 roku wygłosiłem seminarium w CMI (Centrum Matematyki i Informatyki w Château-Gombert-Marseille) na zaproszenie Trotmana. Wtedy mogłem przedstawić kolekcję około trzydziestu modeli z papieru, które kiedyś będącie mogli zobaczyć po raz pierwszy, ponieważ zostały sfotografowane przez Christophe Tardy.

Podczas wykładu tworzy się pewna atmosfera. Na poniższym zdjęciu widzimy geometryka wyrażającego swoje niedowierzanie.

Na tle część modeli przedstawionych z pomocą mojego długofalowego współpracownika, Borisa Koleva, także geometryka z działu. W pewnym momencie zadałem pytanie:

Ilu z was już widziało powierzchnię Steiner-Romana? Podnieście rękę.

Nikt jej nigdy nie widział. Uważałem więc za użyteczne przedstawić ten obiekt za pomocą programu wirtualnej rzeczywistości na laptopie, który miałem przy sobie, programu stworzonego z pomocą Christophe Tardy, inżyniera, i Frédéric Descamp, z Instytutu Laue Langevin w Grenoble (ILL). Jasne, ta prezentacja zaskakuje publiczność, mało przyzwyczajoną do tego, by matematyczne powierzchnie wykonywały dowolne obroty.

Dwie kartonowe tablice widoczne na pierwszym planie pozwoliły przedstawić całą sekwencję modeli w logicznej kolejności. Modele zielone i żółte ilustrują w wersji wielościanowej narzędzie kluczowe do tworzenia i rozwiązywania pary punktów skrawkowych. Biały obiekt dalej po prawej stronie to wielościanowa wersja powierzchni Cross Cap, która najpierw przekształca się w wielościanową wersję powierzchni Steiner-Romana, a następnie, o metr dalej, według wyboru, w powierzchnię Boya „prawo-” lub „lewostronną”.

Analiza modeli wywołuje różne spostrzeżenia wśród publiczności. Jeden z geometryków pyta:

*- Jeśli rzeczywiście, idąc po modelach w tej kolejności, można przejść od powierzchni Cross Cap do powierzchni Boya, to wydaje się, że idąc w przeciwnym kierunku, można przekształcić powierzchnię Boya w Cross Cap. *

Odpowiadam pozytywnie. Zmęczony, mój rozmówca dodaje:

*- W takim razie, jeśli na etapie powierzchni Steiner-Romana się zatrzymamy, powinno być możliwe powrót do powierzchni Boya, ale odbitej względem początkowej. *

Zgodzony raz jeszcze. Niestety, nikt nie zgłosi się, by wyjaśnić ten dziwny świat, w którym dozwolone są punkty skrawkowe w immersionach zamkniętych powierzchni, które tworzone lub rozpuszczane są parami, a ich zbiór stanowi rodzaj rozszerzenia świata immersionów. Słowo „summersion” wydaje mi się odpowiednie. Jeśli czytelnik potrafi coś wyjaśnić, będzie bardzo mile widziany.

Krzywizna skupiona w punkcie skrawkowym.

Obliczymy ją, sumując kąty wierzchołkowe i porównując tę sumę z wynikiem uzyskanym w przypadku płaszczyzny euklidesowej: 2π.

W lewym górnym rogu widzisz jedną z wielu możliwych reprezentacji wielościanowych punktu skrawkowego. „Rozkładając” powierzchnię dochodzimy do sumy kątów przekraczającej wartość 2π o 2α. Wynika stąd, że krzywizna kątowa skupiona wokół tego punktu C wynosi –2α. Jeśli kąt α wynosi π/2, krzywizna ujemna wynosi –π (na rysunku w lewym dolnym rogu). W rzeczywistości krzywizna punktu skrawkowego może przyjmować nieskończenie wiele wartości. W prawym dolnym rogu podkreślamy sumę kątową, a krzywizna staje się wtedy < –π (zwiększamy krzywiznę ujemną).

Działając odwrotnie, możemy osiągnąć dość zaskakującą sytuację: możemy doprowadzić do tego, by krzywizna (kątowa) skupiona w C była... zerowa:

Przejdźmy teraz do reprezentacji wielościanowej powierzchni Cross Cap, w której występują dwa punkty skrawkowe, każdy o krzywiznie równej –π:

Na tym rysunku mamy osiem „posiconów” o wartości +π/2. Dodajmy cztery inne „posicony” o krzywiznie +π/4 i cztery „negacony” o krzywiznie –π/4.

Dodatkowo dwa punkty skrawkowe o krzywiznie –π.

Razem: 2π

Dzieląc wartość tej „całkowitej krzywizny” przez 2π, otrzymujemy wartość charakterystyki Eulera-Poincaré dla dowolnej reprezentacji płaszczyzny rzutowej (lub powierzchni Boya).

Podczas wykładu wspomniałem o sztuce i sposobie zamiany dwóch punktów skrawkowych powierzchni Cross Cap za pomocą odwrócenia sfery. Nie pamiętam już, czy to gdzieś umieściłem na mojej stronie. To taki bałagan. Muszę to poszukać, inaczej dodam. To zabawne. Tak się jednak stało, że ta operacja nie podobała się jednej z osób obecnych na seminarium:

Nie rozumiem, dlaczego Petit używa tak wielu narzędzi, by udowodnić symetrię łączącą dwa punkty skrawkowe Cross Cap. Można to zrobić znacznie prostiej.

I na tablicy narysował sferę spłaszczoną między dwoma linijkami, które się stykają, dając rzeczywiście zbiór samoprzecięcia w postaci odcinka, na końcach którego znajdują się dwa punkty skrawkowe, jak powierzchnia Cross Cap. Niestety, pan, który to robił, zauważył, że to nie jest powierzchnia Cross Cap.

Co to w takim razie jest? – zapytał ktoś.

Po prostu to immersion sfery z dwoma punktami skrawkowymi. Gdybyśmy je złączyli w jeden punkt, otrzymalibyśmy linię samoprzecięcia, która staje się okręgiem. I otrzymalibyśmy (w prawym dolnym rogu) immersion sfery, którą trzeba tylko przekształcić w jej standardowy embedding. Możemy również przedstawić tę powierzchnię w wersji wielościanowej:

Jest to powierzchnia dwustronna, której całkowita krzywizna wynosi 2π.

Właściwie można się bardzo dobrze bawić tymi „summersionami”. Rozważmy immersion torusa uzyskanego przez obrót symbolu „nieskończoność” wokół osi:

Technika złączania punktów skrawkowych w jeden punkt pozwala szybko osiągnąć standardowy embedding torusa, jak wyjaśniono powyżej na kolejnych rysunkach.

Ale rzeczy nie zawsze są tak proste i oczywiste. Weźmy na przykład sferę spłaszczoną między dwoma odcinkami, które tym razem są krótsze niż średnica. Nadal otrzymujemy dwa punkty skrawkowe.

Ponieważ ta powierzchnia zawiera pasek Möbiusa, jest jednostronna. Przyłożyliśmy obok jej reprezentację wielościanową, która pozwala obliczyć jej całkowitą krzywiznę. Wychodzi wtedy zero. Jeśli się nie mylę, powinna to być butelka Kleina. Zazwyczaj znane jest tylko jej klasyczne immersion, w której linia samoprzecięcia jest prostym okręgiem. Ale istnieją inne, takie jak ta tutaj. Przyznaję, że jeszcze nie znalazłem sposobu na przekształcenie jej w typową butelkę Kleina. Poza tym nie wiem nawet, czy ta „immersion” i klasyczna należą do tej samej klasy homotopii (dla sfery, na przykład, jest tylko jedna). A priori nie jest to pewne: torus może być zanurzony w przestrzeni trójwymiarowej czterema różnymi sposobami, które nie mogą być przekształcone jedna w drugą przez regularną homotopię. W oczekiwaniu na ustalenie, czy to możliwe w tym przypadku, bawiłem się przekształcaniem, dodając dwa dodatkowe punkty skrawkowe, otrzymując w ten sposób dwie Cross Cap połączone rurką. Rozkładając je, odkrywamy, że charakterystyka Eulera-Poincaré wynosi zero.

Ta dziwna powierzchnia powinna przekształcić się w jedną z czterech możliwych immersion butelki Kleina, ale którą? W każdym razie, oto jedna, uzyskana przez obrót liczby 8 wokół osi, podczas gdy ta sama liczba wykonuje w tym czasie pół obrotu wokół siebie:

Poprzednia strona

Wróć do indeksu „Przekształcenie Cross Cap w Boya”

Wróć do sekcji Nowości Wróć do sekcji Przewodnik Wróć do Strony głównej

Liczba odwiedzin od 25 listopada 2004 roku: