Sfera topologia modele matematyczne
Włochy: Andrea Sambusetti, uniwersytet w Rzymie
Kliknij tutaj aby wyświetlić rysunek modelu w skali 1:1, do wydrukowania i wycięcia.
Kopiując cztery egzemplarze na kartonie bristolowym w dwóch różnych kolorach, możesz sam zbudować model, śledząc instrukcje montażowe.
Z pewnością widziałeś dziwaczny obiekt wirujący nieustannie po lewej stronie strony głównej tego serwisu. O co chodzi?
Kiedyś, gdy znajdę czas, zainstaluję na tym serwisie opis odwrócenia sfery, dokładnie tak, jak przedstawiłem to w numerze „Pour la Science” z stycznia 1979 roku – czyli... 22 lata temu! Wymaga to wielu szczegółów i wprowadzenia. Co znaczy „odwrócić sferę”? Dla zwykłego człowieka sfera to nic innego jak zbiór punktów w przestrzeni oddalonych o odległość R od ustalonego punktu O. Geometra jednak nadal nazywa „sferą” obiekt odpowiadający „zdeformowanej sferze”, np. ziemniakowi. Aby lepiej zrozumieć te pojęcia, skorzystaj z CD Lanturlu zawierającego komiks „Topologicon”. Jednak matematyk idzie dalej. Powierzchnia jest nazywana „regularną”, gdy w każdym jej punkcie można określić styczną płaszczyznę. Pozwala to już rozważyć nieskończoną liczbę możliwych regularnych deformacji sfery – nieskończoną liczbę form ziemniaka – przy dowolnej zmianie powierzchni tej powierzchni. Mimo to, w naszym fizycznym świecie osoba próbująca odwrócić sferę (czyli przenieść jej powierzchnię wewnętrzną na zewnątrz) napotkałaby niemożliwość, by jej powierzchnia przeszła przez siebie. Gdy przyjmuje się tę hipotezę, czyli zabrania się przecięcia powierzchni lub nawet jej stykania, matematyk mówi o „zagnieżdżeniu” sfery S2. Jednak matematyk może wszystko. Sfera dla niego to obiekt „wirtualny”, nie materialny, w którym przekraczanie powierzchni jest możliwe. Ciąg rysunków poniżej pokazuje sferę przekraczającą się. Takie przedstawienie, które dopuszcza samoprzecięcia, nazywa się „zanurzeniem”.
Zanurzenie ma więc zbiór samoprzecięć (tu chodzi o prostą krzywą okręgową). Jednak płaszczyzna styczna musi zmieniać się ciągle. Mimo to, patrząc na rysunek powyżej, widać wyraźnie, że operacja ta przenosi część powierzchni wewnętrznej (przedstawionej zielonym kolorem) na zewnątrz. Aby ukończyć odwrócenie, należałoby spłaszczyć tę „rurę” równikową. Wydaje się tu być problem: takie spłaszczenie zniszczyłoby ciągłość płaszczyzny stycznej, a więc przekształcenie zawierałoby krok, który nie jest zanurzeniem.
Kiedyś amerykański matematyk Stephen Smale udowodnił, że „sfera S2 ma jedną klasę zanurzeń”. Ta tajemnicza fraza miała za skutki fakt, że można przejść, poprzez przekształcenie zawierające wyłącznie prawdziwe zanurzenia, od „standardowej” sfery do jej „antypodowej” reprezentacji, czyli takiej, w której każdy punkt wymienia się z punktem przeciwległym: innymi słowy... odwrócona sfera. Raoul Bott był szefem Smale’a. Choć formalny dowód tego faktu wydawał się poprawny, nikt nie potrafił wykonać tej operacji odwrócenia w praktyce. Bott ciągle pytał Smale’a: „Pokaż mi, jak byś to zrobił”; Smale, znany z braku skrępowania, odpowiadał: „Nie mam pojęcia”. Smale później otrzymał Medal Fieldsa, równoważny Nagrodzie Nobla w matematyce. Na marginesie możesz się zastanawiać, dlaczego nie ma Nagrody Nobla dla matematyki. Odpowiedź jest prosta: jego żona uciekła z matematykiem.
Sprawa pozostała tak przez długi czas, aż amerykański matematyk Anthony Phillips opublikował w 1967 roku w „Scientific American” pierwszą wersję tego odwrócenia, niezwykle skomplikowaną. Druga została wynaleziona na początku lat siedemdziesiątych przez francuskiego matematyka (niewidomego) Bernarda Morina. Ja byłem pierwszym, kto narysował sekwencję przekształceń, która będzie tematem, jak już zapowiedziałem, kolejnego artykułu na tym serwisie, a co więcej – bardzo obszernego. W każdym razie, wszystko to prowadzi do pewnej obserwacji. Powierzchnie mogą być przedstawione w postaci wielościanowej. Sześcian lub czworościan mogą być traktowane jako wielościenne reprezentacje sfery, w sensie, że te obiekty mają tę samą topologię. W tym punkcie zapraszam do mojego „Topologicon”. Ponadto widać, że jeśli możliwe jest odwrócenie sfery, to możliwe jest również odwrócenie sześcianu. Przekształcenie wynalezione przez Bernarda Morina (które ilustrowałem w artykule z stycznia 1979 roku w „Pour la Science”) przechodzi przez centralny model. W tej sekwencji istnieje symetria. Nazywam ją „centralnym modelem z czterema uszami”. Przyspieszam trochę rzeczy. Jednak jak sfera nadaje się do reprezentacji wielościanowej, tak samo dzieje się z kolejnymi krokami tego przekształcenia. To, co widzisz wirujące na mojej stronie głównej, to wersja wielościanowa centralnego modelu odwrócenia sfery, który wynalazłem kilka lat temu. Zaletą takich modeli wielościanowych jest to, że można je budować z płaskich powierzchni. Można je również zbudować z papieru i nożyczek. Spójrz na rysunek poniżej (szczególnie dziękuję mojemu przyjacielowi Christophe Tardy, który przygotował elementy w odpowiednich rozmiarach).
To plan montażowy, który przedstawia ogólny wygląd. Jednak do wydrukowania lepiej przejść do strony „wykrojony”. Wydrukuj ją. Następnie, posiadając wydrukowany egzemplarz na zwykłym papierze z Twojej drukarki, skopiuj cztery identyczne kopie – dwie na kartonie bristolowym zielonym, dwie żółtym. Będziesz mógł za pomocą tych wyciętych kartek zbudować centralny model odwrócenia sześcianu.
Na elementach do wycięcia znajdują się pary liter: a, b, c, d, e, f itd. Wystarczy zgiąć kartkę, doprowadzając do pokrycia tych samych liter, a następnie złączyć powierzchnie taśmą klejącą przezroczystą. Następujące rysunki pokazują sposób montażu jednego z czterech elementów. Oto jak należy zacząć zginanie jednego z czterech elementów:
Oto dwa z czterech elementów, widziane z różnych kątów.
Następnie układamy je tak, by powstał obiekt o symetrii czwartej rzędu, z naprzemiennymi elementami zielonymi i żółtymi. Aby zobaczyć go w 3D, spójrz na realizację Tardy’ego w sekcji „wirtualna rzeczywistość”. Centralny model jest zmontowany i nawet zrealizowany w formacie „vrml” w tej sekcji. Oto on przedstawiony z różnych punktów widzenia:
Nie można powiedzieć, że jeden punkt odpowiada „górze”, a drugi „dołowi”, ponieważ te nazwy są całkowicie dowolne. Na lewym obrazie punkt „centralny” odpowiada „punktem podwójnemu” (gdzie dwie powierzchnie się przecinają) centralnego modelu Morina, podczas gdy punkt centralny na obrazie po prawej odpowiada „punktom czwórkowym” tego samego modelu (gdzie się przecinają cztery powierzchnie). Musiałem bardzo dokładnie ułożyć obiekt, by lewy obraz nie przypominał swastyki. Poza tym, pod względem architektonicznym, ta wielościanowa reprezentacja centralnego modelu Morina mogła stanowić naprawdę dobry projekt „Domu Kultury Socjalistycznej Narodowej”.
Ostatnia obserwacja: nie istnieje dobra wielościanowa reprezentacja odwrócenia sfery (czyli sześcianu). Przez „dobrą” rozumiem sekwencję modeli wystarczająco jasnych, które można opisać jako arkusze do wycięcia w stosunkowo łatwy sposób, jak powyższy model. Warto byłoby przeprowadzić badanie w tym kierunku, dostępne dla każdego, nawet nie-matematyka, np. rzeźbiarza. Przez ponad dwadzieścia lat byłem nauczycielem rzeźby na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence, kiedy to dyrektorem był mój drogi przyjaciel Jacques Boullier. To tam urodziła się pierwsza południowa reprezentacja powierzchni Boya za pomocą elips, klucz do konstrukcji pierwszego równania jawnej podanego przez Apéry’ego. Muszę przyznać, że już wtedy byłem zdumiony wyobraźnią geometryczną studentów sztuki, która często przewyższała wyobraźnię... geometrów.
Licznik zainstalowany 31 grudnia 2001. Liczba połączeń :
Wróć do strony Nowości Strona główna
Obrazy
