Sfera topologia modele matematyczne
Włochy: Andrea Sambusetti, uniwersytet w Rzymie
Kliknij tutaj aby wyświetlić model w skali 1:1, który można wydrukować i wyciąć.
Wydrukowawszy cztery egzemplarze na kartonie bristolowym w dwóch różnych kolorach, możesz samodzielnie zbudować model, postępując zgodnie z instrukcją montażową.
Z pewnością widziałeś dziwaczny obiekt, który bez przerwy obraca się po lewej stronie strony głównej tego serwisu. O czym to jest?
Jednego dnia, gdy znajdę czas, zainstaluję na tym serwisie opis odwrócenia sfery, tak jak przedstawiłem go w numerze „Pour la Science” z stycznia 1979 roku – czyli... 22 lata temu! Wymaga to wielu szczegółów i wprowadzenia. Co znaczy „odwrócić sferę”? Dla zwykłego człowieka sfera to nic innego jak zbiór punktów w przestrzeni oddalonych o odległość R od ustalonego punktu O. Geometra jednak nadal będzie nazywał „sferą” także obiekt odpowiadający „zdeformowanej sferze”, np. ziemniakowi. Aby lepiej zrozumieć te pojęcia, przygotuj CD Lanturlu zawierające komiks „Topologicon”. Matematyk jednak idzie jeszcze dalej. Powierzchnia nazywa się „regularną”, gdy w każdym jej punkcie można zdefiniować styczną płaszczyznę. Pozwala to już myśleć o nieskończonej liczbie możliwych regularnych odkształceń sfery, w nieskończonej liczbie form ziemniaka, przy czym można dowolnie zmieniać pole powierzchni. Mimo to w naszym fizycznym świecie osoba próbująca odwrócić sferę (czyli przeprowadzić jej powierzchnię wewnętrzną na zewnątrz) napotkałaby niemożliwość przejścia przez siebie samej. Gdy przyjmuje się tę hipotezę, czyli zabrania się przecinania powierzchni samej siebie lub nawet jej „dotykania”, matematyk mówi o „zagnieżdżeniu” sfery S2. Ale matematyk może zawsze wszystko. Dla niego sfera to obiekt „wirtualny”, a nie materialny, w którym przecinanie się powierzchni jest możliwe. Ciąg rysunków poniżej pokazuje sferę, która się przecina. Taka reprezentacja, dopuszczająca przecięcia, nazywa się „wcięciem”.
Wcięcie ma więc zbiór samoprzecięć (tu chodzi o prostą zamkniętą krzywą). Płaszczyzna styczna musi jednak zmieniać się ciągle. Mimo to, patrząc na rysunek powyżej, widać wyraźnie, że operacja ta przeprowadza część powierzchni wewnętrznej (przedstawioną zieloną) na zewnątrz. Aby ukończyć odwrócenie, należałoby „spłaszczyć” tę rodzaj równikowego wątku. Wydaje się tu być problem: takie spłaszczenie zniszczyłoby ciągłość płaszczyzny stycznej, a więc ta transformacja zawierałaby krok, który nie byłby wcięciem.
Jednego dnia amerykański matematyk Stephen Smale udowodnił, że „sfera S2 posiada tylko jedną klasę wcięć”. Ta tajemnicza fraza miała za skutkiem fakt, że można przejść, poprzez przekształcenie zawierające tylko prawdziwe wcięcia, od sfery „standardowej” do jej „antypodowej” reprezentacji, czyli takiej, w której każdy punkt jest zamieniony z punktem antypodalnym: innymi słowy… sfera odwrócona. Raoul Bott był szefem Smale’a. Choć formalny dowód tego faktu wydawał się poprawny, nikt nie potrafił wykonać tej operacji odwrócenia w praktyce. Bott ciągle pytał Smale’a: „Pokaż mi, jak byś to zrobił”; Smale, znany z braku skrupułów, odpowiadał: „Nie mam pojęcia”. Smale później otrzymał Medal Fieldsa, odpowiednik Nagrody Nobla dla matematyki. Na marginesie, może zastanawiasz się, dlaczego nie ma Nagrody Nobla dla matematyki. Odpowiedź jest prosta: jego żona uciekła z matematykiem.
Sprawa pozostała w takim stanie przez długi czas, aż amerykański matematyk Anthony Phillips opublikował w 1967 roku w „Scientific American” pierwszą wersję tego odwrócenia, bardzo skomplikowaną. Druga została wynaleziona na początku lat siedemdziesiątych przez francuskiego matematyka (niewidomego) Bernarda Morina. Ja był pierwszy, kto narysował sekwencję przekształceń, która będzie tematem, jak już zapowiedziałem, kolejnego artykułu na tym serwisie, a co więcej – bardzo obszernego. W każdym razie, wszystko to prowadzi do pewnej rozważnej uwagi. Powierzchnie można przedstawiać w formie wielościanowej. Sześcian lub czworościan można traktować jako wielościenne reprezentacje sfery, w sensie, że te obiekty mają tę samą topologię. W tej kwestii zapraszam do mojego „Topologicon”. Ponadto widać, że jeśli można odwrócić sferę, to można odwrócić również sześcian. Przekształcenie wynalezione przez Bernarda Morina (które ilustrowałem w artykule stycznia 1979 roku w „Pour la Science”) przechodzi przez centralny model. W tej sekwencji istnieje symetria. To, co nazywam „centralnym modelem z czterema uszami”. Przedstawiam już coś, co jeszcze nie zostało wyjaśnione. W każdym razie, podobnie jak sfera nadaje się do reprezentacji wielościennej, tak samo stosuje się to do kolejnych kroków tego przekształcenia. To, co widzisz obracające się na mojej stronie głównej, to wersja wielościanowa centralnego modelu odwrócenia sfery, który wynalazłem kilka lat temu. Zaletą takich modeli wielościanowych jest to, że można je budować z płaskich powierzchni. Można je również zbudować z papieru i nożyczek. Spójrz na rysunek poniżej (z góry dziękuję mojemu przyjacielowi Christophe Tardy, który przygotował elementy w odpowiednich rozmiarach).
To jest plan montażu, którego ogólny wygląd widzisz tu. Jednak do wydrukowania lepiej przejść do strony „wykrojone”. Wydrukuj ją. Następnie, posiadając wydrukowany egzemplarz na zwykłym papierze z Twojej drukarki, wydrukuj cztery identyczne kopie, dwie na kartonie bristolowym zielonym, dwie żółtym. Dzięki tym wycięciom będziesz mógł zbudować centralny model odwrócenia sześcianu.
Na elementach do wycięcia znajdują się pary liter: a, b, c, d, e, f itd. Wystarczy zgiąć kartkę tak, by te same litery się pokryły, a następnie połączyć powierzchnie taśmą klejącą przezroczystą. Następujące rysunki pokazują sposób montażu jednego z czterech elementów. Oto jak należy rozpocząć zginanie jednego z czterech elementów:
Oto dwa z czterech elementów, widziane z różnych kątów.
Następnie układamy je tak, by powstał obiekt o symetrii czwartego rzędu, z przemiennymi elementami zielonymi i żółtymi. Aby zobaczyć go w 3D, spójrz na realizację Tardy’ego w sekcji „wirtualna rzeczywistość”. Centralny model jest zmontowany i również zrealizowany w formacie „vrml” w tej sekcji. Oto on przedstawiony z różnych punktów widzenia:
Nie można powiedzieć, że jeden punkt odpowiada „górze”, a drugi „dołowi”, ponieważ te nazwy są całkowicie dowolne. Na lewym obrazie punkt „środkowy” odpowiada „punktom podwójnym” (gdzie dwie powierzchnie się przecinają) centralnego modelu Morina, podczas gdy punkt środkowy na obrazie po prawej odpowiada „punktom czwórkowym” tego samego modelu (gdzie się przecinają cztery powierzchnie). Musiałem bardzo uważnie ustawić obiekt, żeby lewy obraz nie przypominał swastyki. Poza tym, pod względem architektonicznym, ta wielościanowa reprezentacja centralnego modelu Morina mogła stanowić naprawdę ciekawy projekt „Domu Kultury Socjalistycznej Narodowej”.
Ostatnia uwaga: nie istnieje dobra wielościanowa reprezentacja odwrócenia sfery (czyli sześcianu). Przez „dobrą” rozumiem ciąg modeli wystarczająco jasnych, które można opisać jako arkusze do wycięcia w stosunkowo łatwy sposób, podobnie jak powyższy model. Warto byłoby przeprowadzić badanie w tym kierunku, które byłoby dostępne dla każdego, nawet nie-matematyka, np. rzeźbiarza. Przez ponad dwadzieścia lat byłem nauczycielem rzeźby na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence, kiedy to dyrektorem był mój drogi przyjaciel Jacques Boullier. To tam urodziła się pierwsza południowa reprezentacja powierzchni Boya za pomocą elips, klucz do konstrukcji pierwszego równania niejawowego podanego przez Apéry’ego. Muszę przyznać, że już wtedy byłem zdumiony wyobraźnią geometryczną studentów sztuki, która często przewyższała wyobraźnię... geometrów.
Licznik zainstalowany 31 grudnia 2001. Liczba połączeń :
Wróć do strony Nowości Strona główna
Obrazy
