Model centralny (wielościanowy) odwracania sześcianu
Model Centralny Odwracania Sześcianu
31 grudnia 2001
Wszyscy widzieliście bez przerwy obracający się dziwny obiekt po lewej stronie strony głównej strony internetowej. O co chodzi?
Kiedyś, gdy będę miał czas, na stronie zamieszczę opis odwracania sfery, który przedstawiłem w numerze stycznia 1979 roku w czasopiśmie „Pour la science”, czyli... 22 lata temu. To oczywiście wymagałoby szczegółowego wyjaśnienia i wprowadzenia. Co znaczy „odwrócić sferę”? Dla zwykłego człowieka sfera to zbiór punktów w trójwymiarowej przestrzeni, które znajdują się w odległości R od ustalonego punktu O. Geometr nadal będzie nazywał „sferą” obiekt, który odpowiadałby „zdeformowanej sferze”, czyli rodzajowi „ziemniaka”. Aby dokładniej zrozumieć te pojęcia, warto zdobyć CD Lanturlu z komiksami „Le Topologicon”. Jednak matematyk idzie dalej. Gdy powierzchnia jest „regularna”, w każdym jej punkcie można zdefiniować styczną płaszczyznę. To pozwala już rozważyć nieskończoną liczbę odkształceń „początkowej sfery” w nieskończoną liczbę „ziemniaków”, przy czym pole powierzchni może być dowolne. Jednak w „rzeczywistym świecie fizycznym” osoba odkształcąca tę sferę napotkałaby na niemożliwość przejścia jej przez samą siebie. Gdy takie przejścia lub nawet styki są zabronione, mówimy wtedy o włożeniach sfery S2. Matematyk jednak ma wszystkie prawa. Dla niego sfera to obiekt „wirtualny”, w którym możliwe są przejścia powierzchni przez siebie. Kolejne rysunki pokazują sferę, która „przecięła się sama”. Taką reprezentację sfery nazywamy wcięciem.
Wcięcie ma zbiór samoprzecięć (tutaj jedna prosta zamknięta). Płaszczyzna styczna musi zmieniać się ciągle. Jednak patrząc na rysunki powyżej, widać, że operacja odwraca część (oznaczoną kolorem zielonym) wnętrza sfery na zewnątrz. Aby ukończyć takie odwrócenie, trzeba byłoby „spłaszczyć” taki równikowy „wątek”. Wydaje się to na pierwszy rzut oka problematyczne. Takie spłaszczenie naruszyłoby ciągłość płaszczyzny stycznej. Operacja zawierałaby więc etap, który nie byłby wcięciem.
Jednego dnia amerykański matematyk Stephen Smale udowodnił, że „sfera S2 ma tylko jedną klasę wcięć”. Kolejnym wnioskiem z tej tajemniczej frazy było to, że można połączyć sekwencję wcięć sfery, które pozwoliłyby przejść od „standardowej sfery” do jej „antypodowej” reprezentacji, czyli takiej, w której każdy punkt zostałby zastąpiony przez punkt antypodalny. Innymi słowy... odwrócona sfera, „przód do tyłu”. Raoul Bott był opiekunem Smale’a. Choć dowód Smale’a, czysto formalny, wydawał się niepodważalny, nikt nie widział, jak wykonać tę operację. Bott ciągle mówił Smale’owi: „Pokaż mi, jak byś to zrobił”, a Smale, z jego słynnym włoskiem na języku, odpowiadał: „Nie mam pojęcia”. Smale otrzymał później Medal Fieldsa, równoważny Nagrodzie Nobla w matematyce. W tym momencie może się zastanawiaćcie, dlaczego Nobel nigdy nie stworzył Nagrody Nobla dla matematyki. Odpowiedź jest prosta: jego żona uciekła z matematykiem.
Sprawa pozostała bez zmian przez wiele lat, aż do momentu, gdy amerykański matematyk Anthony Phillips opublikował w 1967 roku w „Scientific American” pierwszą wersję tego odwracania, strasznie skomplikowaną. Druga wersja została wynaleziona na początku lat siedemdziesiątych przez francuskiego matematyka (niewidomego) Bernarda Morina. Ja był pierwszy, kto narysował tę sekwencję przekształceń, które – jak już wspomniałem – będą tematem kolejnego artykułu na stronie, dość obszernego. Wszystko to prowadzi nas do dodatkowego wniosku. Powierzchnie mogą być reprezentowane jako wielościany. Sześcian lub czworościan mogą być traktowane jako reprezentacje wielościenne sfery, ponieważ te obiekty mają tę samą topologię. W tym punkcie polecam waszemu uwagi moją komiksową opowieść „Le Topologicon”. Ponadto rozumie się, że jeśli można odwrócić sferę, to można odwrócić również sześcian. Przekształcenie wynalezione przez Bernarda Morina (które ilustrowałem w artykule z stycznia 1979 roku w „Pour la science”) przechodzi przez model centralny. W tej sekwencji istnieje symetria. Nazywa się ją „modelem centralnym z czterema uszami”. Znowu przyspieszam. Ale podobnie jak sfera może być reprezentowana jako wielościan, tak samo można to zrobić z kolejnymi etapami tych przekształceń. Obiekt, który widzicie obracający się na mojej stronie głównej, to więc wersja wielościanowa modelu centralnego odwracania sfery – model, który wynalazłem około dziesięciu lat temu. Zaletą tych modeli wielościanowych jest to, że można je zbudować z płaskich powierzchni. Można nawet je ułożyć według wykrojonek. Spójrzcie na rysunek poniżej (przy okazji dziękuję mojemu przyjacielowi Christophe Tardy’emu, który przygotował poprawnie oznaczone elementy).
To rysunek, który wydrukujecie w małym formacie, nieprzydatny do użytku.
Do wydrukowania tej figury na kartce A4 Należy zrobić cztery kopie na grubej papierze A4, dwie w jednym kolorze, dwie w innym.
To wykrojone elementy, które widzicie na ogólnym rysunku. Jednak do wydruku zaleca się przejście do strony wykrojone. Wydrukujcie ją. Następnie, posiadając wydruk na zwykłym papierze z waszej drukarki, idźcie do kserokopii i wykonajcie cztery identyczne kopie tego rysunku – dwie na zielonych kartkach bristolowych i dwie na żółtych. Dzięki temu wykrojonym elementom będziecie w stanie zbudować model centralny odwracania sześcianu.
Na tych wykrojonych elementach znajdują się pary liter: a, b, c, d, e, f itd. Wystarczy wykonać zgięcia, doprowadzając te same litery do pokrycia się, a następnie połączyć te ścianki taśmą klejącą przezroczystą. Następujące rysunki pokazują sposób montażu jednego z czterech elementów. Oto jak należy rozpocząć zginanie jednego z czterech elementów:
Oto dwa z tych czterech elementów, widziane z różnych kątów.
Następnie układają się one w obiekt o symetrii czwartego rzędu, naprzemiennie zielone i żółte elementy. Aby zobaczyć to w trzech wymiarach, zajrzyjcie do realizacji pana Tardy’ego w „wirtualnej rzeczywistości”. Całkowicie złożony model centralny jest również dostępny w formacie „vrml” w tej sekcji. Oto ten obiekt widziany z różnych kątów:
Nie można powiedzieć, że jedno zdjęcie odpowiada „górze”, a drugie „dołowi”, ponieważ te określenia byłyby zupełnie dowolne. Na zdjęciu po lewej punkt „centralny” odpowiada „punktem podwójnemu” (gdzie dwie powierzchnie się przecinają) modelu centralnego Morina, podczas gdy punkt centralny po prawej odpowiada „punktom czwórkowym” tego samego modelu (gdzie cztery powierzchnie się przecinają). Starannie ustawiałem obiekt, aby lewa strona nie przypominała krzyża gammowego. W przeciwnym razie, pod względem architektonicznym, ta wielościanowa reprezentacja modelu centralnego Morina mogła być bardzo dobrym projektem budynku kultury narodowej socjalistycznej.
Ostatni widok:
Ostatnia uwaga: nie istnieje „dobry” model wielościanowy odwracania sfery (czyli odwracania sześcianu). Przez „dobry” rozumiemy sekwencję modeli wystarczająco jasnych, które można złożyć w formie wykrojonek stosunkowo łatwo, jak powyższy model. Badanie w tym kierunku byłoby możliwe dla każdego, nawet nie-matematyka, plastycznika itp. Przez ponad dwadzieścia lat byłem nauczycielem rzeźby na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence, kiedy to była nadal kierowana przez mojego dobrego przyjaciela Jacquesa Boulliera. W tych pomieszczeniach narodziła się pierwsza reprezentacja południowa powierzchni Boya za pomocą elips, kluczem do konstrukcji pierwszego równania implikacyjnego Apéry’ego. Muszę przyznać, że wtedy zawsze zdumiewała mnie wyobraźnia geometryczna studentów artystów, która często przewyższała wyobraźnię... geometerów.
Licznik zainicjowany 31 grudnia 2001. Liczba połączeń:
Rzeczywistość wirtualna Powrót do Nowości
Obrazy
