Model centralny (wielościanowy) odwrócenia sześcianu
Model Centralny Odwrócenia Sześcianu
31 grudnia 2001
Wszyscy widzieliście bez końca obracający się dziwny obiekt po lewej stronie strony głównej strony internetowej. O co chodzi?
Kiedyś, gdy będę miał czas, umieszczę na stronie opis odwrócenia sfery, który przedstawiłem w numerze stycznia 1979 r. „Pour la Science”, czyli... 22 lata temu. Wymaga to oczywiście szczegółów i wprowadzenia. Co znaczy „odwrócić sferę”? Dla zwykłego człowieka sfera to zbiór punktów w przestrzeni trójwymiarowej, które znajdują się w odległości R od ustalonego punktu O. Geometr jednak nadal nazywa „sferą” obiekt odpowiadający „zdeformowanej sferze”, czyli rodzajowi „ziemniaka”. Aby lepiej zrozumieć te pojęcia, warto zdobyć CD Lanturlu z komiksami „Le Topologicon”. Matematyk jednak idzie dalej. Gdy powierzchnia jest „regularna”, w każdym jej punkcie można określić styczną. Pozwala to już wyobrazić sobie nieskończoną liczbę odkształceń „początkowej sfery” w nieskończoną liczbę „ziemniaków”, gdy dodatkowo pole powierzchni może być dowolne. Jednak w „przyrodzie fizycznej” osoba odkształcająca tę sferę napotkałaby niemożliwość jej samoprzecinania. Jeśli przecinania czy nawet stykanie są zabronione, mówimy wtedy o „włożeniach” sfery S2. Matematyk jednak ma wszystkie prawa. Dla niego sfera to obiekt „wirtualny”, gdzie przecinanie powierzchni staje się możliwe. Kolejne rysunki pokazują sferę, która „przecięła się sama”. Taką reprezentację sfery nazywamy „wcięciem”.
Wcięcie ma zbiór samoprzecięć (tu jedna prosta zamknięta). Styczna musi zmieniać się ciągle. Jednak patrząc na rysunki powyżej, widać, że operacja odwraca część (oznaczoną kolorem zielonym) wnętrza sfery na zewnątrz. Aby ukończyć takie odwrócenie, trzeba „spłaszczyć” taki „wycisk równikowy”. Wydaje się to na pierwszy rzut oka problematyczne. Spłaszczenie naruszyłoby ciągłość stycznej. Operacja zawierałaby więc krok, który „nie byłby wcięciem”.
Jednego dnia amerykański matematyk Stephen Smale udowodnił, że „sfera S2 posiada tylko jedną klasę wcięć”. Kolejnym wnioskiem z tej tajemniczej frazy było to, że można połączyć sekwencję wcięć sfery, umożliwiając przejście od „standardowej sfery” do jej „antypodowej” reprezentacji, czyli takiej, w której wszystkie punkty zostały zastąpione przez punkty antypodyczne. Innymi słowy... odwrócona sfera, „przód do tyłu”. Raoul Bott był opiekunem Smale’a. Choć dowód ostatniego był czysto formalny i wydawał się nieomylny, nikt nie widział, jak wykonać tę operację. Bott ciągle mówił Smale’owi: „Pokaż mi, jak byś to zrobił”, a Smale, z jego słynnym włoskiem na języku, odpowiadał: „Nie mam pojęcia”. Smale otrzymał później Medal Fieldsa, równoważny Nagrodzie Nobla, ale dla matematyki. Na marginesie zastanawiasz się może, dlaczego Nobel nigdy nie stworzył Nagrody Nobla dla matematyki. Odpowiedź jest prosta: jego żona uciekła z matematykiem.
Sprawa pozostawała bez zmian przez wiele lat, aż do momentu, gdy amerykański matematyk Anthony Phillips opublikował w 1967 roku w „Scientific American” pierwszą wersję tego odwrócenia, strasznie skomplikowaną. Druga została wynaleziona na początku lat siedemdziesiątych przez francuskiego matematyka (niewidomego) Bernarda Morina. Ja byłem pierwszym, kto narysował tę sekwencję przekształceń, które, jak już wspomniałem, będą tematem następnego artykułu na stronie, dość obszernego. Wszystko to prowadzi nas do dodatkowego wniosku. Powierzchnie mogą być reprezentowane jako wielościany. Sześcian lub czworościan mogą być traktowane jako reprezentacje wielościenne sfery, ponieważ mają tę samą topologię. W tym względzie polecam komiks „Le Topologicon”. Ponadto rozumiemy, że jeśli można odwrócić sferę, to można odwrócić również sześcian. Przekształcenie wynalezione przez Bernarda Morina (które ilustrowałem w artykule z stycznia 1979 r. „Pour la Science”) przechodzi przez model centralny. W tej sekwencji istnieje symetria. Nazywa się to „modelem centralnym z czterema uszami”. Znowu przesadzam. Ale podobnie jak sfera może być przedstawiona jako wielościan, tak samo można to zrobić z kolejnymi etapami tych przekształceń. Obiekt, który widzisz obracający się na mojej stronie głównej, to właśnie wersja wielościanowa modelu centralnego odwrócenia sfery, model, który wynalazłem jakieś dziesięć lat temu. Zaletą tych modeli wielościanowych jest to, że można je zbudować z płaskich powierzchni. Można nawet je ułożyć według wykrojów. Spójrz na rysunek poniżej (przy okazji dziękuję mojemu przyjacielowi Christophe Tardy, który przygotował poprawnie oznaczone elementy).
To rysunek, który wydrukujesz w małym rozmiarze, nie do wykorzystania.
Do druku tej figury na kartce A4 Trzeba zrobić cztery kopie na grubej papierze A4, dwie w jednym kolorze, dwie w innym.
To jest ogólny wygląd wykroju. Ale aby go wydrukować, lepiej przejść do strony wykrojów. Wydrukuj ją. Następnie, posiadając wydruk na zwykłym papierze z drukarki, idź do sklepu z kserokopiami i wykonaj cztery identyczne kopie tego rysunku: dwie na zielonym bristolu i dwie na żółtym. Dzięki temu możesz zbudować model centralny odwrócenia sześcianu.
Na wykrojonych elementach znajdują się pary liter: a, b, c, d, e, f itd. Wystarczy złożyć je tak, by te same litery się pokrywały, a następnie połączyć te ścianki taśmą klejącą. Następujące rysunki pokazują sposób montażu jednego z czterech elementów. Oto jak należy rozpocząć składanie jednego z czterech elementów:
Oto dwa z tych czterech elementów widziane z różnych kątów:
Następnie układają się one w obiekt o symetrii czwartej, naprzemiennie zielone i żółte elementy. Aby zobaczyć to w 3D, zajrzyj do realizacji pana Tardy w „wirtualnej rzeczywistości”. Pełnie złożony model centralny jest również dostępny w formacie „vrml” w tej sekcji. Oto ten obiekt widziany z różnych kątów:
Nie można powiedzieć, że jedno widzenie odpowiada „górze”, a drugie „dołowi”, ponieważ te określenia byłyby zupełnie arbitralne. Na widoku z lewej punkt „centralny” odpowiada „punktem podwójnemu” (gdzie dwie powierzchnie się przecinają) modelu centralnego Morina, podczas gdy punkt centralny z prawej odpowiada „punktom czwórkowym” tego samego modelu (gdzie się przecinają cztery powierzchnie). Czynnie ustawiałem obiekt, aby lewy obraz nie przypominał krzyża gammowego. W przeciwnym razie, pod względem architektonicznym, ta wielościanowa reprezentacja modelu centralnego Morina mogła stanowić bardzo dobry projekt budynku kultury narodowej socjalistycznej.
Ostatni widok:
Ostatnia uwaga: nie istnieje „dobry” model wielościanowy odwrócenia sfery (czyli odwrócenia sześcianu). „Dobry” oznacza tu sekwencję modeli wystarczająco jasnych, które można złożyć w formie wykrojów stosunkowo łatwo, jak powyższy model. Badanie w tym kierunku byłoby możliwe dla każdego, nawet nie-matematyka, plastycznika itp. Ponad dwadzieścia lat temu byłem nauczycielem rzeźby na École des Beaux-Arts w Aix-en-Provence, kiedy to była nadal kierowana przez mojego dobrego przyjaciela Jacquesa Boulliera. W tych pomieszczeniach narodziła się pierwsza reprezentacja południowa powierzchni Boya za pomocą elips, klucz do konstrukcji pierwszego równania implikacyjnego przez Apéry’ego. Muszę przyznać, że wtedy zawsze zdumiewała mnie wyobraźnia geometryczna studentów artystów, która często przewyższała wyobraźnię... geometrów.
Licznik zainicjowany 31 grudnia 2001. Liczba połączeń:
Rzeczywistość wirtualna Powrót do Nowości
Obrazy
