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Grupo de translações:
Considere um espaço de 2 dimensões (x,y). Nesse espaço, uma translação é definida por um vetor de translação (Dx,Dy). Costumamos escrever:
(27) x' = x + Dx
y' = y + Dy
Para obter os novos valores x' e y', usamos a adição. Seria possível obter os mesmos resultados por meio de uma .....multiplicação ?
Considere as seguintes matrizes:
(28)
Observe que elas são definidas por dois parâmetros independentes Dx e Dy. Assim, a dimensão do grupo é 2.
Forma:
(29)
Note que isso difere fundamentalmente da multiplicação matricial simples
(30) g x r
Trata-se de uma ação particular do grupo.
(31)
Por outro lado, podemos considerar translações em espaços de 3D ou 4D. As matrizes quadradas correspondentes, que formam grupos, são:
(32)
(33)
A ação correspondente é:
(34)
O grupo das translações é comutativo. Seu elemento neutro é a translação nula.
Grupos de matrizes: por quê?
...Com os grupos de matrizes, podemos combinar várias operações em uma única, em uma única ação. Considere as seguintes matrizes e a seguinte ação:
(35-1)
...Combinamos duas coisas: uma rotação (de ângulo a), mais uma translação (Dx,Dy).
O elemento g do grupo G age sobre o espaço r = (x,y), não "diretamente", mas por meio de uma ação mais refinada. Esse grupo
(35-2)
chamado de "grupo especial euclidiano SE(2)", age sobre o espaço de 2 dimensões. Esse nome será explicado posteriormente.
Qual é sua dimensão? Depende de três parâmetros livres: (a, Dx, Dy), portanto sua dimensão é três. Podemos escrevê-lo como:
gSE (a, Dx, Dy)
Subgrupos.
Para nós, um grupo é um conjunto de matrizes quadradas. Dentre esse conjunto, podemos encontrar subconjuntos.
gSE (0, Dx, Dy) é o subgrupo das translações. gSE (a, 0, 0) é o subgrupo das rotações em torno da origem 0. gSE (0, Dx, 0) é o subgrupo das translações paralelas ao eixo OX.
O grupo acima transporta pontos. Esses pontos não possuem características particulares. São... pontos, nada mais.
...Mas mais tarde, outros grupos, que descrevem o mundo físico, transportarão pontos com características diferentes, "atributos": massa, energia, momento, spin...
Com o grupo acima, apenas conjuntos de pontos são interessantes para serem transportados. Aqui surge o conceito fundamental de:
Espécie.
...Nosso primeiro grupo transporta objetos geométricos, que são conjuntos de pontos, figuras geométricas ("rígidas"). O conjunto mais simples é composto por dois pontos. Considere pares de pontos em um espaço de 2D:
(35-3)
...Na figura (35-3), dois pares de pontos (A,B) e (A',B') foram representados. Posso encontrar um elemento do grupo que transforme (A,B) em (A',B'): combinando uma rotação em torno do ponto O com uma translação. Veja a figura (35-4).
(35-4)
Agora, considere os dois pares:
(35-5)
É impossível encontrar um elemento g (matriz quadrada) do meu grupo G que possa transportar (A,B) em (A",B"). Diria que:
(A,B) e (A',B') pertencem à mesma espécie.
(A,B) e (A",B") pertencem a espécies diferentes.
A característica de uma espécie de pares de pontos chama-se comprimento.
Essa é a definição de comprimento em termos da teoria dos grupos.
...Como você pode afirmar que dois segmentos têm o mesmo comprimento? Porque você pode compará-los, colocando um sobre o outro.
...No nosso grupo, dois segmentos com comprimentos diferentes pertencem a espécies diferentes, pois nosso grupo não permite dilatações ou contrações (transformações homotéticas). O grupo responsável por isso é outro grupo ("grupo especial cartesiano"):
(35-6)
Em relação a esse grupo, todos os pares de pontos formam a mesma espécie. A dimensão desse grupo é quatro.
Em vez de dois pontos, poderíamos considerar três ou quatro pontos, estes últimos formando, por exemplo, quadrados.
(36)
...Em relação ao grupo (35-1), os quadrados cujos lados têm o mesmo comprimento pertencem à mesma espécie. Mas se os lados de dois quadrados forem fundamentalmente diferentes:
(37)
elas pertencem a espécies diferentes.
Esse grupo, que regula as translações em 2D e rotações em torno de um ponto fixo de um plano, é o grupo especial euclidiano: SE(2).
Agora podemos facilmente imaginar um grupo semelhante atuando sobre um espaço de 3D. Os grupos das translações em 3D e 4D foram dados em (32) e (33).
Podemos facilmente imaginar um grupo descrevendo translações em um espaço de n dimensões. Mas e as rotações?
...Podemos imaginar uma rotação em um espaço de 3D. Podemos até escrevê-la usando uma matriz que contém três ângulos, os ângulos de Euler: então sua dimensão é três.
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.