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Matrizes ortogonais. Grupos ortogonais.
Considere uma matriz quadrada a. A matriz transposta corresponde à troca dos termos simétricos em relação à diagonal, como mostrado na figura:
(38)
Denotamos a matriz inversa a-1
Ela obedece à relação:
a × a-1 = 1
A partir de agora, não escreveremos mais o sinal × e escreveremos simplesmente: a a-1 = 1. Quando duas letras em negrito estiverem lado a lado, consideramos que correspondem automaticamente ao produto de duas matrizes.
Uma matriz ortogonal é uma matriz cuja inversa coincide com sua transposta.
(38b)
Pode-se mostrar que:
(38c)
logo o determinante de uma matriz ortogonal é ± 1.
Elas são matrizes ortogonais de qualquer ordem (n,n). Elas formam grupos
O(n) O(n) é o conjunto das matrizes ortogonais (n,n).
Considere as matrizes:
(39)
Elas são matrizes ortogonais, cujo determinante é:
det ( g) = +1
É um subgrupo do grupo ortogonal O(2), chamado de "grupo ortogonal especial" SO(2).
Temos um grupo ortogonal O(3), composto por matrizes ortogonais (3,3), cujo determinante = ± 1. Ele possui um subgrupo SO(3) composto por matrizes ortogonais cujo determinante é + 1.
Em quatro dimensões: temos o grupo ortogonal O(4) e seu subgrupo: o grupo ortogonal especial SO(4).
n dimensões: grupo ortogonal O(n), composto por matrizes ortogonais (n,n), cujo determinante é ± 1. Ele possui um subgrupo chamado ortogonal especial SO(n), limitado às matrizes ortogonais cujo determinante é + 1.
Pode-se mostrar que a dimensão de um grupo ortogonal é (40)
Aplicação ao espaço de duas dimensões: a dimensão do grupo é 1.
Aplicação ao espaço de três dimensões, a dimensão do grupo é três (os três ângulos de Euler).
Aplicação ao espaço de quatro dimensões, a dimensão torna-se seis.
Introduzimos o grupo especial euclidiano orientado SE(2):
(41)
Que combina rotações e translações.
Denotamos:
(42)
Então podemos escrever a matriz e sua ação sobre o espaço:
(43)
Observação:
(44)
No nosso espaço plano de duas dimensões, no nosso plano, encontramos objetos como:
(45)
Considerando esses objetos particulares:
(46)
eles pertencem a uma mesma espécie. Se eu pegar qualquer par desses objetos, posso encontrar um elemento do grupo que leva o primeiro ao segundo, e vice-versa.
O segundo subconjunto de objetos:
(47)
pertence a outra espécie.
O terceiro também:
(48)
Mas:
(49)
Não consigo encontrar nenhuma combinação de rotação a mais translação c que permita passar de um para o outro.
Podemos modificar o grupo euclidiano orientado para tornar isso possível?
Index Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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Orthogonal matrixes. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?