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Componentes de um grupo.
Nós consideramos dois grupos: SO(2) e O(2). O segundo contém o primeiro.
O primeiro contém o elemento neutro. Podemos representar os elementos do grupo da seguinte forma:
(73) .
Os elementos da primeira componente formam um grupo (um subgrupo).
Os elementos da segunda componente não formam um grupo, por várias razões:
- Ela não contém o elemento neutro 1.
- Podemos escolher duas matrizes na segunda componente cujo produto não pertence a essa segunda componente. Exemplo:
(74)
A componente do grupo que contém o elemento neutro 1 é chamada de
componente neutra do grupo.
Na sequência, consideraremos grupos com 2, 4 ou 8 componentes.
O grupo de Euclides.
Agora podemos integrar esse grupo estendido, aprimorado, à translação em 2D, obtendo:
(75)
e a ação correspondente desse grupo de Euclides:
(76)
Suponha que utilizássemos nosso grupo para manipular, governar e estudar letras alfabéticas.
Restrinjamos o conjunto às letras: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Temos vários tamanhos:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Sabemos que não é possível encontrar um elemento do grupo, nem uma ação subsequente do grupo, que possa transformar:
G em G
pois seus tamanhos são diferentes. Decidimos chamar seus tamanhos de massas, de modo que G e G sejam similares a partículas, objetos, átomos, possuindo massas diferentes. Agora, isso depende do grupo que atua sobre esse conjunto de objetos. Se eu usar:
(78)
suponha que esse "universo" esteja preenchido por:
(79)
com um certo espectro de tamanhos (massas) e ângulos. Se eu aplicar ações do grupo, quaisquer que sejam, nunca encontrarei objetos pertencentes ao alfabeto russo:
(80)
Isso será possível se eu usar o grupo aprimorado, o grupo de Euclides:
(80b)
Então meu "universo" se tornará:
(81)
O grupo enriqueceu o "zoo" das letras. Mas no meu zoo, um elemento é invariante por simetria, ou seja:
(82)
(83)
(84)
(85)
...Em geral, qualquer simetria em relação a uma reta do plano, que é um "espelho 2D", não muda a "natureza" desse caractere
(86)
Chamarei esse caractere de "fóton" e assimilarei a transformação
(87)
à dualidade matéria-antimatéria. Assim, obtenho um zoo global:
(88)
Podemos relacionar letras de mesma forma (natureza) mas de tamanhos diferentes (representando suas energias), usando o grupo de Descartes:
(89)
...Mas não vamos construir um modelo analógico completo das partículas elementares baseado em letras alfabéticas. De qualquer forma, você já começa a ver para onde estamos indo. Grupos têm aspectos muito simples, mas propriedades ocultas. Essas propriedades dependem de seus subgrupos, que geram as espécies.
...O grupo de Euclides vai de mãos dadas com um mundo de Euclides, com um zoo de Euclides. Os animais da geometria euclidiana são chamados esfera, cilindro, prismas, plano, reta, triângulos, etc. Eles são invariantes sob a ação de certos subgrupos. Souriau chama o subgrupo ligado a um objeto pertencente a uma espécie, a regularidade desse objeto.
Por exemplo, as esferas centradas em um ponto dado O são invariantes sob a ação do subgrupo das rotações em torno desse ponto.
-
Podemos considerar que o fato de ser invariante é uma propriedade da espécie chamada "esferas centradas em um ponto O".
-
Inversamente, podemos considerar que essa propriedade define a espécie.
Index Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
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Conversely we can consider that this property *defines *the species.