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Procuramos classificar. A classificação baseia-se na definição de uma espécie.
Dois objetos pertencentes à mesma espécie têm uma propriedade comum.
- Pegue uma esfera, uma esfera particular.
- Observe o subgrupo do grande grupo (grupo de Euclides) que deixa esta esfera invariante. Souriau chama este subgrupo de regularidade de uma esfera.
- Procure todos os objetos invariantes pela ação deste subgrupo. Você encontrará todas as esferas centradas em um ponto dado, incluindo a esfera de raio zero: o ponto.
Portanto, o ponto pertence à espécie das "esferas centradas na origem".
Reciprocamente:
- Pegue um ponto de um espaço tridimensional.
- Observe o subgrupo do grupo de Euclides que deixa este ponto invariante. Você encontrará o grupo ortogonal O(3).
- Procure então todos os objetos invariantes pela ação dos elementos deste subgrupo, sob rotação em torno deste ponto. Você encontrará todas as esferas centradas neste ponto e concluirá que este ponto e todas estas esferas pertencem a uma mesma espécie.
Objetos como uma reta, um plano, um cilindro, etc., podem ser "construídos" como uma espécie ligada a um certo subgrupo particular.
...Na física, queremos classificar as partículas elementares. Mas você não pode pegar uma partícula entre o polegar e o indicador e olhá-la com uma lupa. Você só pode observar seu comportamento, seu movimento.
Me diga como você se move, eu lhe direi o que você é.
...Tenho um velho amigo, Jean-Louis Philoche, que é um excelente jogador de xadrez. Ele pode jogar cego (em francês "jouer à l'aveugle", sem ver o tabuleiro). Basta indicar o movimento de uma peça:
b1-c3
Para os não jogadores:
(90) Movimento do cavalo
...Jean-Louis é capaz de memorizar tudo isso na cabeça. Não sei como ele faz, mas funciona. Isso prova que as peças de xadrez não são necessárias para jogar (um computador não as precisa).
...Imaginem que você esteja em uma sala e ouça dois vizinhos jogando "um jogo qualquer". Você não os vê, mas ouve quando anunciam seus lances.
b2-b3 b7-b5 e assim por diante...
...Você pensa: eles estão movendo algo. Qual é esse jogo? Você pega um tabuleiro, coloca pequenas pedras nele e anota seus lances sucessivos em uma folha. Chamemos C o índice da coluna e L o índice da linha. Um lance corresponde a:
(DC, DL)
Se |DC| ≤ 1 e |DL| ≤ 1: isso corresponde a um movimento do rei.
Se |DC| = |DL|: isso corresponde a um movimento do bispo (ao longo de uma diagonal).
Se |DC| × |DL| = 0: isso corresponde a um movimento da torre.
Se |DC × DL| = 3: isso corresponde a um movimento do cavalo.
Se DL for estritamente positivo: isso corresponde a um peão branco. Se DL for estritamente negativo: isso corresponde a um peão preto.
E assim por diante. Construímos uma classificação de "objetos" baseada no seu comportamento.
Outra imagem. Você tem uma caixa com parafusos misturados. Você quer classificá-los. O que você precisa? Parafusos diferentes.
(91)
- Pegue um parafuso.
- Procure o parafuso que combina com ele.
- Selecione todos os parafusos que se encaixam neste parafuso. Você obtém uma espécie de parafusos.
Grupo ortogonal O(3).
...Podemos estender o que foi dito acima no contexto 2D para o contexto 3D. Sabemos como realizar uma rotação em um espaço 3D, em relação a um ponto fixo, origem das coordenadas. Ela depende de três ângulos a, b, g, chamados ângulos de Euler. Não escreveremos uma tal matriz, apenas a notaremos:
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det (a) = +1
Trata-se de uma matriz ortogonal:
(92b)
...O grupo ortogonal O(3) é composto por todas as matrizes ortogonais, incluindo aquelas cujo determinante é igual a -1. Chamamos estas matrizes (93)
Como na seção anterior, podemos obter todas as matrizes ortogonais a partir de SO(3) por meio de:
(94)
L sendo a matriz diagonal:
(95)
(96)
Tudo isso é redundante. Mas revela imediatamente as simetrias fundamentais.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Existem "matrizes espelho" que invertem a orientação dos objetos, transformando-os em sua imagem em um espelho:
(100)
Dê um exemplo de objeto orientado cuja orientação seja invertida por esta simetria espelhada:
(101)
...Trata-se da superfície inventada por Werner Boy, aluno de Hilbert. Uma atenção especial será dada a este objeto interessante na seção do site dedicada às matemáticas. Removemos uma parte da superfície para mostrar o ponto triplo T.
...Você pode chamar qualquer um desses objetos de "direito" ou "esquerdo". Ninguém jamais indicou qual era o movimento de rotação "direito" da superfície de Boy. De qualquer forma: por que girar uma superfície de Boy? Alguns dizem que ela pode voar, mas sou cético.
Próximo:
(102)
(103)
(104)
...Como na geometria 2D (simetria em relação à origem), a simetria em relação ao eixo x é equivalente a uma rotação de π. Finalmente:
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que muda a orientação dos objetos.