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Sobre as componentes do grupo.
O(2) é um grupo composto por duas componentes:
- Sua componente neutra (um subgrupo SO(2) que contém o elemento neutro 1).
- O restante dos elementos.
Se formarmos um grupo euclidiano de 2 dimensões a partir de O(2):
(112)
esse grupo possui duas componentes. Sua componente neutra é constituída pelos elementos de SO(2).
(113)
...
Chamamo-lo de grupo euclidiano especial: com este grupo, não é possível inverter a orientação de uma "letra", como R. O grupo euclidiano com duas componentes é denominado grupo completo.
... Em relação ao grupo especial, subgrupo do grupo euclidiano completo:
(114)
pertencem a espécies distintas, pois não é possível encontrar um elemento gEO deste grupo GSE (ou SE(2)) que transforme a primeira letra na segunda, e vice-versa.
... Em relação ao grupo completo, essas duas letras pertencem à mesma espécie, pois existe um elemento gE do grupo GE (simetria, pertencente à segunda componente) que pode transformar uma dessas duas letras na outra.
Da mesma forma, o grupo euclidiano de 3 dimensões (o grupo euclidiano completo):
(115)
possui duas componentes. A primeira, a componente neutra, é um subgrupo formado pelos elementos de SO(3):
(116)
... Chamamos esta componente neutra de grupo euclidiano especial SE(2). Em relação a este grupo, uma mão direita e uma mão esquerda pertencem a espécies distintas, pois nenhum elemento gSE do grupo GSE pode transformar uma mão esquerda em mão direita, e vice-versa.
Em relação ao grupo completo, pertencem à mesma espécie.
Uma breve observação:
Quando uma pessoa olha sua imagem em um espelho, vê que sua mão esquerda e sua mão direita são trocadas. Mas por que sua cabeça e seus pés não são trocados também?
A resposta é dada pelo matemático francês J.M. Souriau:
(116b)
Outra observação, mais técnica. A partir do grupo euclidiano orientado, é possível construir o grupo euclidiano completo, utilizando um escalar l = ± 1
(116c)
os elementos para os quais l = -1 pertencem à segunda componente e "invertem o espaço", transformando objetos em suas imagens enantiomorfas.
Extensão ao grupo PT de 4 dimensões.
Partamos do grupo ortogonal especial:
(118)
e construamos o grupo PT por meio de matrizes (4,4):
(119)
Trata-se de um grupo com quatro componentes (l = ±1; m = ±1).
Esse grupo age sobre o espaço-tempo através da seguinte ação:
(120)
Observamos que poderíamos escrevê-lo como:
(121)
Mas isso não altera nada, pois a ação fundamental permanece inalterada.
Dentre essas quatro componentes, temos a componente neutra, o grupo orientado no espaço e no tempo.
(122)
Temos:
(123)
Observe que:
(124)
gSOTO também é uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais são definidas por essa propriedade axiomática.
... Observe que vamos amplamente utilizar as propriedades axiomáticas de matrizes particulares, muito mais do que as próprias matrizes. Com o grupo SO(2), escrevemos explicitamente as matrizes. Mas para SO(3) e O(3), não o faremos, pois isso não seria necessário nem útil, e tornaria os cálculos desnecessariamente complexos. É muito mais eficiente e elegante utilizar as propriedades axiomáticas das matrizes do grupo.
Antecipando, considere as matrizes definidas por:
(125)
onde:
(126)
Na forma de matriz diagonal:
(127)
Além disso:
(128)
Mostre que essas matrizes formam um grupo.
Considere:
(129)
e forme:
(130)
O produto dessas matrizes de Lorentz generalizadas então obedece ao axioma.
Mostre que a matriz inversa pertence ao grupo:
(131)
Calcule a matriz inversa.
(132) (132b)
corresponde ao caso particular:
(132c)
... A forma dessa matriz corresponde à métrica do espaço-tempo (como veremos novamente, com as matrizes de Lorentz, mais adiante, ao abordar o mundo relativístico).
(133)
sendo um vetor espaço-tempo.
A relação corresponde à forma quadrática elementar:
(134)
com:
(134b)
o que nos dá:
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct sendo uma "variável cronológica".
Isso corresponde a um espaço-tempo euclidiano, onde a velocidade:
(136)
é ilimitada.
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos
Versão original (inglês)
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About components of the group.
O(2) is a group composed by two components :
- Its neutral component ( a sub-group SO(2) which contains the neutral element 1 ).
- The rest of the elements.
If we form a 2d Euclid'd group from O(2) :
(112)
this group owns two components. Its neutral component is built with the SO(2) element.
(113)
...We call it Special Euclid's group : we cannot, with this group, reverse the orientation of a "letter", like R. The Euclid's group with its two components is called the *complete group *.
...With respect to the special group, sub-group of the complete Euclid's group :
(114)
belong to two distinct species, because we cannot find any element gEO of this group GSE ( or SE(2) ) which can change the first letter into the second, and vice-versa.
...With respect to the complete group, these two letters belong to the same species, for there is an element gE of the group GE ( symmetry, which belong to the second component ) which can change one of these two letters into the other.
Similarly the 3d Euclid's group ( the "complete" Euclid's group ) :
(115)
has two components. The first, the neutral one, is a sub-group formed with the element of SO(3) :
(116)
...We call this neutral component the Special Euclid's group SE(2). With respect to this group a right hand and a left hand belong to distinct species, for there is no element gSE of GSE which can transform a left hand into a right hand, and vice-versa.
With respect to the complete group they belong to the same species.
A short remark :
When a man looks at his image in a mirror, he sees that his left hand and raight hand are exchanged. But why his head and feet are not exchanged too ?
The answer is given by the french mathematician J.M. Souriau :
(116b)
Another remark, more technical. From the oriented Euclid's group it is possible to build the complete Euclid's group, using a scalar l = ± 1
(116c)
l = - 1 terms of the group belong to the second component and "reverse space", transform objects into their enantiomorphic image.
Extension to 4d PT-group.
Let us start from the special orthogonal group :
(118)
and then build the PT-group through (4,4) matrixes :
(119)
It is a four-components group ( l = ± 1 ; m = ± 1 ).
This group acts on space time through the following action :
(120)
Notice we could write it :
(121)
But it does not change anything, for the basic action is not changed.
Amont these four components we have the neutral component, the ( Space oriented , time-oriented group ).
(122)
We have :
(123)
Notice that :
(124)
gSOTO is also an orthogonal matrix. Orthogonal matrixes are defined through this axiomatric property.
...Notice that we are largely going to use the axiomatic properties of peculiar matrixes, much more than the matrixes themselve. With teh SO(2) group we have written the matrixes explicitely. But for SO(3) and O(3) we won't, for it will not be not necessary and would make the calculations unecessarly complicated. It is much more efficient and elegant to use the axiomatic properties of the matrixes of the group.
Anticipating, consider the matrixes defined by :
(125)
where :
(126)
As a diagonal matrix :
(127)
In addition :
(128)
Show that these matrixes form a group.
Consider :
(129)
and form :
(130)
Then the product of such generalized Lorentz matrixes obeys the axiom.
Show that the inverse matrix belongs to the group :
(131)
Compute the inverse matrix.
(132) (132b)
corresponds to peculiar case :
(132c)
... The form of this matrix corresponds to the metric of space-time (as will be considered again, with Lorentz-matrixes, further, dealing with relativistic world).
(133)
being space-time vector
The link corresponds to the elementary quadratic form :
(134)
with :
(134b)
this gives :
(135) ds2 = dx°2 + dx2 + dy2 + dy2
x° = ct being a "chronological variable".
This corresponds to a euclidean space-time, where the velocity :
(136)
is unlimited.