Grupos e ação coadjunta da física momento
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Um elemento gp do grupo de Poincaré Gp é definido por uma sequência de parâmetros {pi}, cujo número, já dissemos, representa a dimensão do grupo. A matriz d**g (g = e) **é constituída pelas quantidades {dpi}. A aplicação acima é, portanto, do tipo:
(81)
Ou seja, a um conjunto de escalares dpi fazemos corresponder um número igual de escalares dpi'. A dualidade consiste em postular a invariância de um escalar, segundo:
(82)
n sendo a dimensão do grupo (dez, para o grupo de Poincaré). Os escalares Ji representam as componentes do momento, do mesmo número.
Decidiremos decompor este momento **J **em dois objetos. O primeiro será uma matriz M anti-simétrica de formato (4,4), portanto com seis componentes, e o segundo um "quadrivetor" P, matriz de formato (4,1):
(83)
(84) **J **= { M , p , E} = { M , P } Escreveremos o produto escalar na forma:
(85)
Tr significando "traço de", e teremos ainda:
(86)
forma linear cuja invariância assegura a dualidade.
com:
(87) (87b)
(87c)
mas GG = 1 logo isto vale:
(88)
Identifiquemos os termos em y (89)
Ou seja:
(90)
----> Aqui também seguem detalhes de cálculo matricial. Se desejar, clicando aqui poderá ir diretamente ao resultado
Na traço podemos realizar uma permutação cíclica dos termos.
(90a)
(90b)
(90c)
o segundo termo do segundo membro é igual ao produto de uma matriz linha por uma matriz coluna.
Isto é igual à traço do produto invertido (a seguir, esquematicamente, o produto de uma matriz linha por uma matriz coluna):
(90d)
Nesta traço, posso operar uma permutação cíclica:
(90e)
Daí:
(90f)
(90g)
Aqui aplicaremos novamente o teorema sobre as traços de matrizes que são o produto de uma outra matriz por uma matriz simétrica.
Toda matriz pode ser simetrizada ou anti-simetrizada. Além disso, a traço do produto de uma matriz por uma matriz simétrica é nula.
(90h)
Posso aplicar isto à matriz (90i) pois tomamos a traço
(90j)
(90k) = sim ( ) + antisim ( )
mas:
(90l)
portanto
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
e:
(90q)
finalmente:
(90r)
Agrupando e mudando os primos de lado obtenho a minha ação de grupo:
Imagens
