Matemática geometria transformação superfícies

Como transformar uma superfície Cross Cap em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, a escolha é sua)

passando pela superfície romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidade de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

**27 de setembro - 25 de outubro de 2003 **

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Isso, como diria Kipling, envolve "grande astúcia e força mágica".

Estou aposentado, mas, posso dizer, faço um pouco de pesquisa "contra minha vontade", como outros, em seu tempo livre, fazem tricô. Se tiver paciência e conseguir cartões de 200g com quadriculados, você mesmo poderá reconstruir todos esses modelos. Meu amigo Christophe Tardy está construindo, a partir deles, uma animação que não deve ser ruim.

A superfície Cross Cap aparecerá nos desenhos que se seguem, assim como a superfície romana de Steiner. Mas você pode descobri-las indo para a seção Realidade Virtual, para a qual é necessário baixar o programa Cosmoplayer no seu computador. Faça isso, é realmente legal. Tudo gira em torno dos "pontos cuspídeos". Esses pontos se formam naturalmente quando você monta a cavalo e aperta forte as pernas. O corpo do cavalo então ficará achatado ao longo de um segmento. A coxa direita se colará ao longo desse segmento à sua ombreira direita, enquanto a coxa esquerda se colará à ombreira esquerda. Quanto ao ponto cuspídeo, não o procure: você está simplesmente sentado sobre ele.

Mas tudo isso é desenhado... arredondado. Vamos para uma "representação poliédrica" do ponto cuspídeo (assim como um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações poliédricas de uma simples esfera). O traço em negrito representa a "curva de auto-interseção", que termina no ponto cuspídeo C.

Imprima essas tabelas, é melhor. No futuro, você precisará reconhecer um ponto cuspídeo em "configurações diferentes" e não confundi-lo com um simples vértice do poliedro. Construa, se puder, esses diferentes objetos com cartolina, você entenderá melhor. Abaixo temos uma operação essencial, chamada "criação-dissolução de um par de pontos cuspídeos". O primeiro desenho representa uma espécie de cilindro que se auto-interseca ao longo do segmento desenhado em negrito, cuja seção lembra a letra grega gama, virada para baixo. Deformamos então essa superfície "apertando" o tubo cuja seção se parece com uma "lágrima virada para baixo". Fazendo isso, fazemos degenerar essa "lágrima" em um ponto S. Em seguida, esse ponto se divide, dando origem a dois pontos cuspídeos. Esta é a operação de criação de um par de pontos cuspídeos. A operação oposta, ao contrário, destrói dois pontos cuspídeos. Logo abaixo, você encontra a versão poliédrica dessa operação.

Abaixo, aqui está outra representação poliédrica da transformação, que se parece com o que você verá se formar na superfície em breve.

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