Matemática geometria transformação superfícies

Como transformar uma superfície Cross Cap

em uma superfície de Boy (direita ou esquerda, a escolher)

através da superfície romana de Steiner.

Italiano: Andrea Sambusetti, universidade de Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 de setembro - 25 de outubro de 2003

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Isso, como diria Kipling, envolve "grande astúcia e força mágica".

Estou aposentado, mas, posso dizer, ainda faço um pouco de pesquisa "contra a minha vontade", como outros, no seu tempo livre, costuram. Se tiverem paciência e conseguirem obter cartolina Bristol de 200 g com quadriculado, poderão reconstruir vocês mesmos todos estes modelos. Meu amigo Christophe Tardy está criando, a partir deles, uma animação que não deverá sair mal.

A superfície Cross Cap aparecerá nos desenhos que se seguirão, assim como a superfície romana de Steiner. Mas vocês podem descobri-las indo para a seção Realidade Virtual, para a qual é necessário baixar o programa Cosmoplayer no seu computador. Façam isso, é realmente legal. Tudo se passa em torno dos "pontos de canto". Estes pontos se formam naturalmente quando você monta a cavalo e aperta forte as pernas. O corpo do cavalo será então esmagado ao longo de um segmento. A coxa direita se fixará ao longo desse segmento na sua ombreira direita, enquanto a coxa esquerda na sua ombreira esquerda. Quanto ao ponto de canto, não procurem por ele: estão simplesmente sentados sobre ele.

Mas tudo isso está desenhado... arredondado. Passemos a uma "representação poliédrica" do ponto de canto (assim como um cubo ou um tetraedro podem ser considerados representações poliédricas de uma simples esfera). O traço em negrito representa a "curva de auto-interseção", que termina no ponto de canto C.

Imprimam estas tabelas, é melhor. No que se segue, vocês precisarão reconhecer um ponto de canto em "configurações diferentes" e não confundi-lo com um simples vértice do poliedro. Construam, se quiserem, estes diferentes objetos com cartolina, entenderão melhor. Aqui embaixo temos uma operação essencial, chamada "criação-ruptura de um par de pontos de canto". O primeiro desenho representa uma espécie de cilindro que se auto-intersecciona ao longo do segmento desenhado em negrito, cuja seção lembra a letra grega gamma, invertida. Deformamos então esta superfície "apertando" o tubo cuja seção assemelha-se a uma "lágrima invertida". Assim fazendo, fazemos degenerar esta "lágrima" em um ponto S. Depois disso, este ponto se duplica, dando origem a dois pontos de canto. Esta é a operação de criação de um par de pontos de canto. A operação oposta, por sua vez, destrói dois pontos de canto. Imediatamente abaixo está a versão poliédrica desta operação.

Aqui embaixo, eis outra representação poliédrica da transformação, que se parece com aquilo que vocês verão se formar na superfície em breve.

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