3
Grupo de translações:
Considere um espaço 2D (x,y). Nesse espaço, uma translação é definida por um vetor de translação (Dx, Dy). Costumamos escrever:
(27)
x' = x + Dx
y' = y + Dy
Para obter os novos valores x' e y', utilizamos a adição. Seria possível obter os mesmos resultados por meio de uma multiplicação?
Considere as seguintes matrizes:
(28)
Observa-se que elas são definidas por dois parâmetros independentes, Dx e Dy. Assim, a dimensão do grupo é 2.
Forma:
(29)
Observa-se que isso difere fundamentalmente da multiplicação matricial simples
(30)
g × r
Trata-se de uma ação particular do grupo.
(31)
Ademais, podemos considerar translações em espaços de 3D ou 4D. As matrizes quadradas correspondentes, formando grupos, são:
(32)
(33)
A ação correspondente é:
(34)
O grupo das translações é comutativo. Seu elemento neutro é a translação nula.
Grupos de matrizes: por quê?
Com grupos de matrizes, podemos combinar várias operações em uma única, em uma única ação. Considere as seguintes matrizes e a seguinte ação:
(35-1)
Combinamos duas coisas: uma rotação (de ângulo a), mais uma translação (Dx, Dy).
O elemento g do grupo G age sobre o espaço r = (x,y), não "diretamente", mas por meio de uma ação mais refinada.
Esse grupo
(35-2)
chamado de "grupo especial euclidiano SE(2)", age sobre o espaço 2D. Esse nome será explicado mais adiante.
Qual é sua dimensão? Depende de três parâmetros livres: (a, Dx, Dy), logo sua dimensão é três. Podemos escrever:
g ∈ SE(a, Dx, Dy)
Subgrupos.
Para nós, um grupo é um conjunto de matrizes quadradas. Dentre esse conjunto, podemos encontrar subconjuntos.
g ∈ SE(0, Dx, Dy) é o subgrupo das translações.
g ∈ SE(a, 0, 0) é o subgrupo das rotações em torno da origem 0.
g ∈ SE(0, Dx, 0) é o subgrupo das translações paralelas ao eixo OX.
O grupo acima transporta pontos. Esses pontos não possuem características particulares. São simplesmente... pontos, nada mais.
Mas posteriormente, outros grupos, que descrevem o mundo físico, transportarão pontos com características diferentes, "atributos": massa, energia, momento, spin...
Com o grupo acima, apenas conjuntos de pontos são interessantes para serem transportados. Aqui surge o conceito fundamental de:
Espécie.
Nosso primeiro grupo transporta objetos geométricos, que são conjuntos de pontos, figuras geométricas ("rígidas"). O conjunto mais simples é composto por dois pontos. Considere pares de pontos em um espaço 2D:
(35-3)
Na figura (35-3), foram representados dois pares de pontos (A,B) e (A',B'). Posso encontrar um elemento do grupo que transforme (A,B) em (A',B'): combinando uma rotação em torno do ponto O com uma translação. Veja a figura (35-4).
(35-4)
Agora considere os dois pares:
(35-5)
É impossível encontrar um elemento g (matriz quadrada) do meu grupo G que possa transportar (A,B) em (A",B"). Direi que:
(A,B) e (A',B') pertencem à mesma espécie.
(A,B) e (A",B") pertencem a espécies diferentes.
A característica de uma espécie de pares de pontos é chamada comprimento.
Essa é a definição de comprimento em termos da teoria dos grupos.
Como você pode afirmar que dois segmentos têm o mesmo comprimento? Porque você pode compará-los, sobrepondo um sobre o outro.
No nosso grupo, dois segmentos com comprimentos diferentes pertencem a espécies diferentes, pois nosso grupo não permite dilatações ou contrações (transformações homotéticas). O grupo responsável por isso é outro ("grupo especial cartesiano"):
(35-6)
Em relação a esse grupo, todos os pares de pontos pertencem à mesma espécie. A dimensão desse grupo é quatro.
Em vez de dois pontos, poderíamos considerar três ou quatro pontos, esses últimos formando, por exemplo, quadrados.
(36)
Em relação ao grupo (35-1), quadrados cujos lados têm o mesmo comprimento pertencem à mesma espécie. Mas se os lados de dois quadrados forem fundamentalmente diferentes:
(37)
eles pertencem a espécies diferentes.
Esse grupo, que regula as translações 2D e rotações em torno de um ponto fixo de um plano, é o grupo especial euclidiano: SE(2).
Podemos facilmente imaginar um grupo semelhante atuando sobre um espaço 3D. Os grupos de translações 3D e 4D foram dados em (32) e (33).
Podemos facilmente imaginar um grupo descrevendo translações em um espaço de n dimensões. Mas e as rotações?
Podemos imaginar uma rotação em um espaço 3D. Podemos até escrevê-la usando uma matriz que contém três ângulos, os ângulos de Euler: então sua dimensão é três.
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos