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Simetrias.
(49b)
O que isso significa?
Considere um grupo composto por quatro elementos (um "grupo discreto").
(50)
que posso escrever:
(51)
A ação correspondente é:
(52)
É claro que ela pode inverter a coordenada x, a coordenada y, ou ambas.
Esquematicamente:
(53)
(54)
(55)
(56)
Agora podemos construir a matriz:
(57)
Podemos verificar que esse conjunto de matrizes forma um grupo.
Seu determinante é:
(58)
det (
a
) = l m (cos² a + sin² a) = l m = ±1
Verifiquemos que a matriz inversa é:
(59)
(60)
(61)
Assim:
(62)
donde:
(63)
SO(2) (chamado grupo ortogonal especial) é um subgrupo de O(2) (chamado grupo ortogonal), e podemos formar as matrizes
a
a partir das matrizes
a
por meio de:
(64)
A propósito, muitas são redundantes. Por exemplo, se
(64b)
(65)
o que significa que mudar (x → -x; y → -y) é equivalente a uma rotação de
p
. Veja a figura a seguir.
(66)
Sabemos que as matrizes:
(67)
correspondem a uma simples rotação em torno da origem das coordenadas O.
Qual é o significado das matrizes mais gerais:
(68)
A partir de:
(69)
sabemos que
a
corresponde a duas operações combinadas:
-
Uma simetria em relação ao eixo OX, ou ao eixo OY, ou a ambos.
-
Uma rotação a em torno da origem das coordenadas.
(70)
Na figura está indicada a sequência das duas operações
(M1 → M4)
É claro que ela é equivalente a uma simetria em relação a uma reta passando por O
(71)
Enriquecemos o "grupo ortogonal especial" SO(2), que era derivado do "grupo ortogonal" O(2). Descobrimos então que este grupo estendido contém simetrias espelhadas: todas as simetrias em relação a retas passando pela origem das coordenadas O.
(72)
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos