6
Componentes de um grupo.
Nós consideramos dois grupos: SO(2) e O(2). O segundo contém o primeiro.
O primeiro contém o elemento neutro. Podemos representar os elementos do grupo da seguinte forma:
(73)
.
Os elementos da primeira componente formam um grupo (um subgrupo).
Os elementos do segundo grupo não formam um grupo, por várias razões:
-
Ele não contém
o elemento neutro 1. -
Podemos escolher duas matrizes desta segunda componente cujo produto não pertence a esta segunda componente. Exemplo:
(74)
A componente do grupo que contém o elemento neutro
1
é chamada de
componente neutra do grupo.
Na sequência, consideraremos grupos com 2, 4, 8 componentes.
O grupo de Euclides.
Agora podemos integrar este grupo estendido e aprimorado à translação em 2D, e obtemos:
(75)
junto com a ação correspondente deste grupo de Euclides:
(76)
Suponha que utilizássemos nosso grupo para manipular, governar, estudar as letras do alfabeto.
Limitemos o conjunto a:
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Temos vários tamanhos:
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Sabemos que não podemos encontrar nenhum elemento do grupo, nem nenhuma ação subsequente de um grupo, capaz de transformar:
G em G
pois seus tamanhos são diferentes. Decidimos chamar esses tamanhos de
massas
para que G e G sejam análogos a partículas, objetos, átomos que possuem massas diferentes.
Agora, isso depende do grupo que atua sobre este conjunto de objetos. Se eu usar:
(78)
suponha que este "mundo" esteja cheio de:
(79)
com um certo espectro de tamanhos (massas) e ângulos. Se eu operar ações de grupo, quaisquer que sejam, nunca encontrarei objetos que pertençam ao alfabeto russo:
(80)
Isso será possível se eu usar o grupo aprimorado, o grupo de Euclides:
(80b)
Então meu "mundo" se tornará:
(81)
O grupo enriqueceu o "zoo" das letras. Mas no meu zoo, uma letra é invariante por simetria, ou seja:
(82)
(83)
(84)
(85)
Em geral, qualquer simetria em relação a qualquer linha reta do plano, ou seja, um "espelho 2D", não modifica a "natureza" deste caractere
(86)
Chamarei este caractere de "fóton" e assimilarei a transformação
(87)
à dualidade matéria-antimatéria. Assim, obtenho um zoo global:
(88)
Podemos relacionar as letras de mesma forma (natureza) mas de tamanhos diferentes (representando suas energias), usando o grupo de Descartes:
(89)
Mas não vamos construir um modelo analógico completo das partículas elementares baseado nos caracteres alfabéticos. De qualquer forma, você começa a ver para onde estamos indo. Os grupos têm aspectos simples, mas possuem propriedades ocultas. Essas propriedades dependem de seus subgrupos, que geram
as espécies.
O grupo de Euclides vem acompanhado de um mundo euclidiano, de um zoo euclidiano. Os animais da geometria euclidiana são chamados esfera, cilindro, prismas, plano, linha reta, triângulos, etc. Eles são invariantes sob a ação de um certo subgrupo. Souriau chama de
regularidade
deste objeto o subgrupo associado a um objeto pertencente a uma espécie.
Por exemplo, as esferas centradas em um ponto dado O são invariantes sob o subgrupo das rotações em torno deste ponto.
-
Podemos considerar que
o fato de ser invariante é uma propriedade da espécie chamada "esferas centradas em um ponto O". -
Reciprocamente, podemos considerar que
esta propriedade
define
a espécie.
Índice Teoria Dinâmica dos Grupos