7
Procuramos classificar. A classificação baseia-se na definição de uma espécie.
Dois objetos que pertencem à mesma espécie possuem uma propriedade comum.
-
Pegue uma esfera, uma esfera particular.
-
Observe o subgrupo do grande grupo (grupo de Euclides) que deixa esta esfera invariante. Souriau chama esse subgrupo a
regularidade
de uma esfera.
- Procure todos os objetos que permanecem invariantes sob a ação desse subgrupo. Você encontrará todas as esferas centradas em um ponto dado, incluindo a esfera de raio nulo: o ponto.
Então, o ponto pertence à espécie das "esferas centradas na origem".
Reciprocamente:
-
Pegue um ponto do espaço tridimensional.
-
Observe o subgrupo do grupo de Euclides que deixa esse ponto invariante. Você encontra o grupo ortogonal O(3).
-
Procure então todos os objetos invariantes sob a ação dos elementos desse subgrupo, sob rotação em torno desse ponto. Você encontrará todas as esferas centradas nesse ponto e concluirá que esse ponto e todas essas esferas pertencem à mesma espécie.
Objetos como uma reta, um plano, um cilindro, etc., podem ser "construídos" como uma espécie ligada a um certo subgrupo particular.
Na física, queremos classificar as partículas elementares. Mas você não pode pegar uma partícula entre o polegar e o indicador e observá-la com uma lupa. Você só pode observar seu comportamento, seu
movimento
.
Diga-me como você se move, eu lhe direi o que você é.
Tenho um velho amigo, Jean-Louis Philoche, que é um excelente jogador de xadrez. Ele consegue jogar de olhos vendados (em francês "jouer à l'aveugle", sem ver o tabuleiro). Basta indicar o movimento de uma peça:
b1-c3
Para não jogadores:
(90)
Movimento do cavalo
Jean-Louis é capaz de memorizar tudo isso na cabeça. Não sei como ele faz, mas funciona. Isso prova que as peças de xadrez não são necessárias para jogar (um computador não precisa delas).
Imagine que você está em uma sala e ouve dois vizinhos jogando "um jogo". Você não os vê, mas ouve quando anunciam seus lances.
b2-b3
b7-b5
e assim por diante...
Você pensa: eles estão movendo algo. Qual é esse jogo? Você pega um tabuleiro, coloca pequenas pedras sobre ele e anota seus lances sucessivos em uma folha. Chame C o índice da coluna e L o índice da linha. Um lance corresponde a:
( D C , D L )
Se |DC| = 1 e |DL| = 1: isso corresponde a um movimento de rei.
Se |DC| = |DL|: isso corresponde a um movimento do bispo (ao longo de uma diagonal).
Se |DC| × |DL| = 0: isso corresponde a um movimento da torre.
Se |DC × DL| = 3: isso corresponde a um movimento do cavalo.
Se DL for estritamente positivo, isso corresponde a um peão branco. Se DL for estritamente negativo, corresponde a um peão preto.
E assim por diante. Construímos uma classificação de "objetos"
baseada em seu comportamento
.
Outra imagem. Você tem uma caixa com parafusos misturados. Quer classificá-los. O que você precisa? Porcas diferentes.
(91)
-
Pegue um parafuso.
-
Procure a porca que combina com ele.
-
Selecione todos os parafusos que se encaixam nessa porca. Você obtém uma espécie de parafusos.
Grupo ortogonal
O(3).
Podemos estender o que foi dito acima no contexto 2D para o contexto 3D. Sabemos como realizar uma rotação em um espaço tridimensional, em relação a um ponto fixo, origem das coordenadas. Ela depende de três ângulos a, b, g, chamados ângulos de Euler. Não escreveremos tal matriz, mas a notaremos simplesmente:
(92)
det ( a ) = + 1
Trata-se de uma matriz ortogonal:
(92b)
O grupo ortogonal O(3) é composto por todas as matrizes ortogonais, incluindo aquelas cujo determinante vale -1. Chamamos essas matrizes de (93)
Como na seção anterior, podemos obter todas as matrizes ortogonais a partir de SO(3) por meio de:
(94)
L sendo a matriz diagonal:
(95)
(96)
Tudo isso é redundante. Mas torna imediatamente evidentes as simetrias fundamentais.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Existem "matrizes espelho" que invertem a orientação dos objetos, transformando esses objetos em suas imagens em um espelho:
(100)
Dê um exemplo de objetos orientados cuja orientação é invertida por essa simetria espelhada:
(101)
Trata-se da superfície inventada por Werner Boy, aluno de Hilbert. Uma atenção especial será dada a esse objeto interessante na seção do site dedicada à matemática. Removemos uma parte da superfície para mostrar o ponto triplo T.
Você pode chamar um desses objetos de "direito" ou "esquerdo". Ninguém jamais indicou qual era o movimento de rotação "direita" da superfície de Boy. De qualquer forma: por que fazer girar uma superfície de Boy? Alguns afirmam que ela pode voar, mas sou cético.
Em seguida:
(102)
(103)
(104)
Como na geometria 2D (simetria em relação à origem), a simetria em relação ao eixo x é equivalente a uma rotação de
p
.
Por fim:
(105)
que alteram a orientação dos objetos.
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos