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Sobre as componentes do grupo.
O(2) é um grupo composto por duas componentes:
-
Sua componente neutra
(um subgrupo SO(2) que contém o elemento neutro 1). -
O restante dos elementos.
Se formarmos um grupo euclidiano em duas dimensões a partir de O(2):
(112)
este grupo possui duas componentes. Sua componente neutra é construída a partir dos elementos de SO(2).
(113)
O chamamos de
grupo especial
euclidiano: com este grupo, não é possível inverter a orientação de uma "letra", como R.
O grupo euclidiano que possui suas duas componentes é chamado de
grupo completo
.
Em relação ao grupo especial, subgrupo do grupo euclidiano completo:
(114)
pertencem a espécies distintas, pois não é possível encontrar um elemento
g
EO
deste grupo GSE (ou SE(2)) que possa transformar a primeira letra na segunda, e vice-versa.
Em relação ao grupo completo, estas duas letras pertencem à mesma espécie, pois existe um elemento
g E
do grupo G
E (simetria, pertencente à segunda componente) que pode transformar uma destas duas letras na outra.
Da mesma forma, o grupo euclidiano em três dimensões (o "grupo completo" euclidiano):
(115)
possui duas componentes. A primeira, a
componente neutra
, é um subgrupo formado pelos elementos de SO(3):
(116)
Chamamos esta componente neutra de grupo euclidiano especial SE(3). Em relação a este grupo, uma mão direita e uma mão esquerda pertencem a espécies distintas, pois não existe nenhum elemento
g
SE
do grupo G
SE
que possa transformar uma mão esquerda em mão direita, e vice-versa.
Em relação ao grupo completo, elas pertencem à mesma espécie.
Observação breve:
Quando um homem olha para sua imagem em um espelho, ele vê que sua mão esquerda e sua mão direita são trocadas. Mas por que sua cabeça e seus pés também não são trocados?
A resposta é dada pelo matemático francês J.M. Souriau:
(116b)
Outra observação, mais técnica. A partir do grupo euclidiano orientado, é possível construir o grupo euclidiano completo, utilizando um escalar l = ± 1
(116c)
os elementos para os quais l = -1 pertencem à segunda componente e "invertem o espaço", transformam os objetos em suas imagens enantiomórficas.
Extensão ao grupo PT em 4D.
Partamos do grupo ortogonal especial:
(118)
e construamos o grupo PT utilizando matrizes (4,4):
(119)
Trata-se de um grupo com quatro componentes (l = ± 1 ; m = ± 1).
Este grupo age no espaço-tempo através da seguinte ação:
(120)
Notamos que poderíamos escrevê-lo:
(121)
Mas isso não muda nada, pois a ação fundamental não é alterada.
Dentre estas quatro componentes, temos a componente neutra, o grupo
(orientado no espaço, orientado no tempo).
(122)
Temos:
(123)
Notamos que:
(124)
g
SOTO
também é uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais são definidas por esta propriedade axiomática.
Notamos que vamos utilizar amplamente as propriedades axiomáticas das matrizes particulares, muito mais do que as próprias matrizes. Para o grupo SO(2), escrevemos explicitamente as matrizes. Mas para SO(3) e O(3), não o faremos, pois não seria necessário e tornaria os cálculos inutilmente complexos. É muito mais eficiente e elegante usar as propriedades axiomáticas das matrizes do grupo.
Antecipando, consideremos as matrizes definidas por:
(125)
onde:
(126)
Na forma de matriz diagonal:
(127)
Além disso:
(128)
Mostre que estas matrizes formam um grupo.
Considere:
(129)
e forme:
(130)
O produto de tais matrizes de Lorentz generalizadas obedece então ao axioma.
Mostre que a matriz inversa pertence ao grupo:
(131)
Calcule a matriz inversa.
(132)
(132b)
corresponde ao caso particular:
(132c)
A forma desta matriz corresponde à métrica do espaço-tempo (como veremos novamente, com as matrizes de Lorentz, mais adiante, ao abordar o mundo relativístico).
(133)
sendo um vetor espaço-tempo
A relação corresponde à forma quadrática elementar:
(134)
com:
(134b)
o que dá:
(135)
ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct sendo uma "variável cronológica".
Isso corresponde a um espaço-tempo euclidiano, onde a velocidade:
(136)
não é limitada.
Índice Teoria dos Grupos Dinâmicos