Document fără nume
30 decembrie 2009
Am vândut suprafața lui Boy pe care o creasem
Iată: acest obiect de un metru patruzeci în envergură a plecat astăzi spre Belgia, achiziționat de un medic, Pierre, de altfel cititor fidela al comicurilor lui Lanturlu și cunoscător deja al obiectului prin citirea albumului Topologicon, gratuit descărcabil de pe site-ul Savoir sans Frontières la:
****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm
Topologicon este menționat în pagina Wikipedia, dar linkul nu duce la pagina de descărcare de pe site-ul Savoir sans Frontières, ceea ce este destul de păcat. Poate cineva va putea adăuga acest link, dar eu personal nu pot, fiind „exclus pe viață” de Wikipedia în octombrie 2006 (pentru a fi dezvăluit identitatea unui contributor, fost student la École Normale Supérieure, care, datorită doctoratului său în științe teoretice în fizică, pe teme de supercoarde, a obținut un post într-o bancă).
Acest obiect a fost expus timp de douăzeci și cinci de ani în „sala pi” din Palais de la Découverte din Paris. L-am recuperat cu câțiva ani în urmă, în perioada în care conducerea Palaisului dorea să instaleze în acea sală un mic amphiteatru din lemn. Am preferat să-l recuperez înainte ca acesta să fie încălțat, depozitat într-o rezervă, în calitate de „știință consumabilă”.
Când în Palais a avut loc o expoziție dedicată diferitelor teorii privind construcția piramidelor, atelierele au realizat o mașinătorie destul de frumoasă, de 50 cm pe 50 cm, arătând piesele de colț ale rampei mele din piatră. Am dorit să recuperez obiectul, dar la ultimele informații a dispărut. Sau poate, ca știință consumabilă, a ajuns într-o gunoi. Poate un cititor poate să-mi ofere informații?
Când vizitezi Cité des Science, ești impresionat de invazia virtuală, de ecranele plasma care arată asta sau aceea. Atât de mult, încât te întrebi: „De ce să mă duc acolo, când pot avea acces la acestea acasă, prin Internet?”
Monduri virtuale, științe consumabile, aveți oare suflet?
Este în trend.
În ce constă importanța suprafeței lui Boy în matematică? În rândul suprafețelor închise bidimensionale, fără puncte singulare, se găsesc doar patru:
| - Sfera | - Torul | - Sticla Klein | - Suprafața lui Boy |
|---|
Primele trei ne erau familiare de mult timp. A patra era mai misterioasă. Abia la sfârșitul anilor 70, când eram profesor de sculptură la École des Beaux Arts din Aix-en-Provence, am construit prima reprezentare a acestei suprafețe, cu două familii de curbe, echivalente cu mulțimile de meridiane-paralele ale sferei S2. Cum se va vedea în comic, suprafața inventată de matematicianul german Werner Boy, elev al lui Hilbert, este rezultatul aplicării punctelor unei sfere asupra celorlalte, fiecare punct fiind pus în coincidență cu antipodul său. Astfel, polul nord este adus în coincidență cu polul sud. Meridianele sferei „se înfășoară pe meridianele lui Boy”.
Am avut imediat ideea de a identifica una dintre familii de curbe cu elipse.
În acea vreme, tânărul Jérôme Souriau putea folosi Apple II-ul tatălui său, matematician. Într-o zi i-am spus:
- Ai vrea să faci pentru mine un lucru care ne-ar aduce o publicare în domeniul matematicii?
Și Jérôme a răspuns:
- Cine trebuie să omor pentru asta?
Se părea doar să faci măsurători pe elipse, folosind un raportor și o riglă gradată, pentru a construi curbe, apoi reprezentarea lor prin intermediul unei serii Fourier. A realizat lucrarea într-o după-amiază. Nota în Comptes Rendus de l'Académie des Sciences din Paris a trecut fără probleme. Vedeți această reproducere a notei
Aceste ecuații au permis lui Colonna, care conducea primul atelier de imagini sintetice de la École Polytechnique din Paris, să producă primele imagini ale obiectului, dar fără a menționa ecuațiile pe care le-a folosit pentru această lucrare (un comportament destul de obișnuit în „comunitatea științifică”).
Imagine creată pe baza reprezentării JP PETIT - Jérôme Souriau, cu cele trei plecări urâcioase, rezultate dintr-o lipsă de finisare în reprezentarea Fourier.
Ulterior, reprezentările parametrice s-au multiplicat. Mai jos, cea a lui R. Bryant:
Această a doua descoperire, a unei parametrizări folosind meridiane eliptice, a permis matematicianului Apéry, elev al matematicianului Bernard Morin, din Strasbourg, să construiască prima reprezentare a suprafeței sub o formă implicită, de gradul șase. (în teza sa de doctorat, atribuie această invenție plasticului Max Sauze, doctor în sudare la argint):
f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0
înspăimântător de complicat.
Imagine a suprafeței lui Boy, construită folosind reprezentarea implicită a lui Apéry, cu „meridianele eliptice” ale lui J.P.Petit
Pe site-ul Wikipedia, la această pagină, veți găsi o animație inspirată de flip book-ul din Topologicon (1988). La fel pentru reprezentarea poliedrică a suprafeței (altă invenție a mea, de asemenea prezentă în album), cu colțuri rotunjite.
În 1988, matematicianul Brehm a oferit o altă reprezentare poliedrică, cu zece fețe, iar un teoremă indică că obiectul nu poate avea mai puțin de nouă fețe...
De gustibus et coloribus non disputandum
Să revenim la reprezentarea lui Apéry, singura reprezentare implicită cunoscută. De ce această suprafață este atât de discordantă (și deci ecuația sa atât de complicată)?
Apéry, ghidat de Morin, nu a exploatat simetria ternară a obiectului. Ecuația plasează axa OZ ca axă de simetrie; ceea ce este o greșeală. Un rezultat mai bun ar fi fost obținut dacă s-ar fi ales ca axă de simetrie vectorul (1, 1, 1). Simetria ternară ar fi dus la o ecuație invariantă la permutarea coordonatelor x, y, z. În plus, plasând originea coordonatelor în punctul triplu și stabilind că cele trei plane tangente la suprafață sunt planele principale, s-ar fi eliminat termenii de ordinul doi, unu și zero, iar termenul de ordinul trei ar fi fost redus la
x y z
Această simetrie este folosită în suprafața descoperită în 1844 de Steiner, în orașul Roma, numită ulterior suprafața Romană a lui Steiner, a cărei ecuație este:
O privire la suprafață:
Suprafața romană a lui Steiner
Formată și ea din elipse, este, ca aceasta, unilaterală, deci neconsumabilă:
Familii de elipse ale suprafeței romane
Suprafața romană nu este „dreaptă, nici stângă”, în timp ce există două variante ale lui Boy, enantiomorfe, în oglindă. O „Boy dreaptă” și o „Boy stângă”. În 2003 (cât de repede trece timpul!) am arătat într-un seminar ținut la departamentul de geometrie de la Facultatea de Științe din Marseille că o Boy dreaptă poate fi transformată într-o Boy stângă trecând printr-o suprafață romană a lui Steiner.
/legacy/science/maths_f/Crosscap_Boy1.htm
Autorul ținând un seminar de matematică
Unii cititori manipulează bine instrumentele de infografică. Urmarind dosarul indicat, digitalizând și interpolând, este posibil să se construiască animația. Dacă cineva este tentat...
Este amuzant, animațiile. Am creat aceasta cu software-ul de CAD pe care l-am creat: Screen, care reprezintă etapa centrală a întoarcerii cubului (alias versiunea poliedrică a modelului cu patru urechi al lui Morin)
Etapa centrală a întoarcerii cubului
Ar fi multe de făcut în acest domeniu. Aș dori doar să indic o direcție pentru candidați la doctorat în matematică. Există o reprezentare implicită a suprafeței lui Boy în care meridianele sunt elipse, iar această ecuație va intra în istoria matematicii, împreună cu numele celui care o va scoate din mătasea ei. Ea rămâne de găsit. Punct de plecare: exploatați simetria ternară, cum am arătat mai sus.
Bună vânătoare...
Astfel, suprafața lui Boy care împodobea sala pi din Palais de la Découverte a plecat în Belgia. Mi-aș fi dorit ca din ea să fie făcută o sculptură monumentală, „traversabilă”, de douăzeci de metri înălțime. Asta cel puțin ar fi avut stil. Dar nu, plasticieni de la târg au populat acest spațiu cu sculpturi fără suflet, fără structură, lipsite de orice bogăție.
Dar nu am vrut să păstrez o fotografie a acestui obiect fantastic. Se va înțelege de ce ---
Noutăți Ghid (Index) Pagina principală
Imagini