grupuri și acțiune coadjointă a momentului în fizică
| 7 |
|---|
Un element gp al grupului Poincaré Gp este definit printr-o succesiune de parametri {pi}, a căror număr, cum am menționat deja, reprezintă dimensiunea grupului. Matricea dg (g = e) este alcătuită din mărimile {dpi}. Aplicația de mai sus este deci de tipul:
(81)
Cu alte cuvinte, unei mulțimi de scalari dpi li se asociază un număr egal de scalari dpi'. Dualitatea constă în presupunerea invarianței unui scalar, după cum urmează:
(82)
n fiind dimensiunea grupului (zece, pentru grupul Poincaré). Scalarii Ji reprezintă componente ale momentului, în același număr.
Vom decide să descompunem acest moment J în două obiecte. Primul va fi o matrice M antisimetrică de dimensiune (4,4), deci având șase componente, iar al doilea un „quadri-vector” P, matrice de dimensiune (4,1):
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } Vom scrie produsul scalar sub forma:
(85)
Tr însemnând „urma lui”, iar vom avea în continuare:
(86)
o formă liniară al cărei invarianță asigură dualitatea.
cu:
(87) (87b)
(87c)
dar GG = 1, deci acest lucru devine:
(88)
Identificăm termenii în y (89)
Adică:
(90)
----> Aici urmează detalii de calcul matriceal. Dacă doriți, apăsând aici puteți accesa direct rezultatul.
În urmă, se poate face o permutare circulară a termenilor.
(90a)
(90b)
(90c)
al doilea termen din membrul drept este egal cu produsul dintre o matrice linie și o matrice coloană.
Aceasta este egală cu urma produsului inversat (mai jos, schematic, produsul dintre o matrice linie și o matrice coloană):
(90d)
În această urmă, pot face o permutare circulară:
(90e)
Din aceasta rezultă:
(90f)
(90g)
Aici vom aplica din nou teorema despre urmele matricelor care sunt produsul unei alte matrice cu o matrice simetrică.
Orice matrice poate fi simetrizată sau antisimetrizată. În plus, urma produsului dintre o matrice și o matrice simetrică este nulă.
(90h)
Pot aplica acest lucru matricei (90i), deoarece luăm urma
(90j)
(90k) = sim ( ) + antisim ( )
dar:
(90l)
deci
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
și:
(90q)
în final:
(90r)
Însumând și schimbând primele de partea opusă, obțin acțiunea grupului:
Imagini
