Geometrie suprafață Boy model poliedric suprafață romană Steiner

Cum transformăm o suprafață Cross Cap
într-o suprafață Boy (dreaptă sau stângă, la alegere)
trecând prin suprafața romană Steiner.

Italiană: Andrea Sambusetti, universitatea din Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 septembrie - 25 octombrie 2003

Pagina 4

Prezentăm modelul dintr-un alt punct de vedere:

Tabelul 14: repetăm mereu aceeași operație, creând al treilea „ureche” al curbei de auto-intersecție. În modelul poliedric, aceasta are forma a tre pătrate cu un vârf comun: punctul triplu T.

Tabelul 15: rotind obiectul, veți recunoaște versiunea poliedrică a suprafeței Boy pe care am prezentat-o în Topologicon (unde puteți găsi și un plan de montaj care vă permite să o construiți).

Ultimul tabel: am încercat să ilustrez suprafața Steiner în timp ce se întoarce și se transformă într-o suprafață Boy.

Vedeți că, desenată în „rotunjire”, este nevoie de multă practică pentru a o înțelege. Ochiul nostru este foarte neîncrezător atunci când trebuie să înțeleagă un obiect pentru care, pe aceeași linie vizuală, se suprapun mai mult de două fețe. De aici interesul modelului poliedric, care pune la îndemâna oricui, dacă doar încearcă să construiască singur modelele mici, transformări considerate complicate în geometrie. Menționăm în treacăt că, în funcție de perechile de puncte cuspidale alese, se obține o suprafață Boy „dreaptă” sau „stângă” (definiții complet arbitrare). Planul proiectiv se imersează în spațiu prin două reprezentări „antiautomorfe” simetrice. Vedeți deci că se poate trece de la o suprafață Boy dreaptă la o suprafață Boy stângă printr-un model „central” care este suprafața romană Steiner.

Ar fi fără îndoială frumos dacă aceste desene ar fi publicate în reviste precum Pour la Science sau La Recherche. Dar de douăzeci de ani mi se este „interzisă” publicarea în aceste reviste din cauza deviației ufologice. Mulțumesc, domnii Hervé This și Philippe Boulanger. Nu mai știu câte articole de acest gen am propus acestor reviste și care mi-au fost amabil refuzate. Se ajunge să te obișnuiești cu statutul tău de excomunicat.

Ca anecdotic, există un „Premiu Alembert” destinat să recompenseze autori de cărți de divulgare matematică. Istorisirea mi-a fost povestită de un membru al comisiei încărcate să decidă cine merită acest premiu (există totuși chestiuni de bani în spate). Dialog:

• În definitiv, de ce nu dăm premiul lui Petit? A scris opere remarcabile precum „Géométricon”, „Trou Noir” și „Topologicon”.

• Da, dar nu a făcut doar asta.

• Ce vrei să spui?

• A scris și „Mur du Silence”.

• Ah, bine atunci...

Da, „Mur du Silence”, publicat în 1983, este un album dedicat MHD. Și, cum știe oricine, această știință corozivă are ca virtute, sau defect, posibilitatea ca discurile zburătoare să se deplaseze cu viteză supersonică fără să facă „Bang”.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

În cutiile mele am o versiune minunată a „răsturnării cubului”, care nu este versiunea poliedrică a variantei Morin. Este totul din propria mea mână. Într-o zi...

22 octombrie 2003: Nu vă străduiți prea mult pe aceste pagini, dacă pot crede în contor. Luni, 13 octombrie 2003, am susținut un seminar la CMI (Centrul de Matematică și Informatică de la Château-Gombert-Marseille) pe invitația lui Trotman. În acea ocazie am putut scoate la lumină o colecție de aproximativ treizeci de modele din carton, care vă vor putea bucura într-o zi, deoarece au fost fotografiate de Christophe Tardy.

Când susții un seminar, se creează o anumită atmosferă. În foto de mai jos, iată un geometru care exprimă nedumerirea sa.

Pe fundal, o parte dintre modelele expuse cu ajutorul colaboratorului meu de lungă durată, Boris Kolev, membru al departamentului, și el geometru. Într-un moment dat, am pus întrebarea:

• Câți dintre voi au văzut deja o suprafață romană Steiner? Ridicați mâna.

Nimeni nu o văzuse niciodată. Mi s-a părut deci util să prezint acest obiect, cu un program de realitate virtuală, pe laptopul pe care-l aveam cu mine, program realizat cu ajutorul lui Christophe Tardy, inginer, și al lui Frédéric Descamp, de la Institutul Laue Langevin din Grenoble (ILL). Evident, această prezentare îl dezorientă pe public, puțin obișnuit să vadă suprafețele matematice făcând mișcări la întâmplare.

Două table de carton, vizibile în prim-plan, au permis prezentarea întregii succesiuni de modele în ordinea lor logică. Modelele verzi și galbene ilustrează, în formă poliedrică, instrumentul esențial de creare-dezvoltare a unei perechi de puncte cuspidale. Obiectul alb mai departe este o versiune poliedrică a suprafeței Cross Cap, care se transformă mai întâi în versiunea poliedrică a suprafeței romane Steiner, apoi, la un metru mai departe, la alegere, într-o suprafață Boy „dreaptă” sau „stângă”.

Analiza modelelor scoate la lumină diverse observații din partea publicului. Unul dintre geometri întreabă:

- Dacă e adevărat că, urmând modelele în această ordine, putem trece de la suprafața Cross Cap la cea a lui Boy, pare că, urmând procedeul invers, putem transforma o suprafață Boy într-o Cross Cap.

Răspund afirmativ. Îndrăznit, interlocutorul meu adaugă:

- Atunci, dacă ne oprim la stadiul suprafeței romane Steiner, ar trebui să putem reveni la o suprafață Boy, dar reflectată față de cea inițială.

Concord o a doua dată. Dar, din păcate, nimeni nu va propune să ofere vreo lămurire despre acest lume ciudată în care se permite ca imersiunile suprafețelor închise să aibă puncte cuspidale, create sau dezlegate în perechi, al căror ansamblu constituie o specie de extindere a lumii imersiunilor. Termenul „summersionare” mi se pare potrivit. Dacă un cititor este capabil să ofere vreo lămurire, este binevenit.

Curbură concentrată într-un punct cuspidal.

O vom calcula sumând unghiurile la vârf și comparând această sumă cu rezultatul obținut în cazul planului euclidian: 2p.

În colțul din stânga sus puteți vedea una dintre multele reprezentări poliedrice posibile ale unui punct cuspidal. „Demontând” suprafața, ajungem la o sumă de unghiuri care depășește valoarea 2p cu 2a. Se deduce că curbură unghiulară concentrată în jurul acestui punct C este -2a. Dacă unghiul a este egal cu p/2, atunci curbură negativă este -p (figura din colțul din stânga jos). Într-adevăr, curbură unui punct cuspidal poate lua un număr infinit de valori. În colțul din dreapta jos accentuăm suma unghiulară și curbură devine atunci < -p (am crescut curbură negativă).

Operând în mod invers, putem ajunge la o situație destul de surprinzătoare: putem face ca curbură (unghiulară) concentrată în C să fie ... nulă:

Pornind de la o reprezentare poliedrică a suprafeței Cross Cap cu două puncte cuspidale, fiecare având o curbura egală cu -p:

În această figură există opt „posiconi” de valoare +p/2. Adăugăm patru „posiconi” suplimentare de curbura +p/4 și patru „negaconi” de curbura -p/4.

Plus cele două puncte cuspidale de curbura -p.

Total: 2p

Împărțind valoarea acestei „curbură totale” la 2p, obținem valoarea caracteristicii Euler-Poincaré pentru orice reprezentare a planului proiectiv (sau a suprafeței Boy).

În timpul conferinței am amintit de artă și modul de permutare a celor două puncte cuspidale ale unei suprafețe Cross Cap folosind răsturnarea sferei. Nu mai știu dacă am pus această chestiune undeva pe site-ul meu. E un adevărat labirint. Trebuie să caut, altfel o voi adăuga. E amuzant. Faptul este că această operație nu i-a plăcut deloc uneia dintre persoanele prezențe la seminar:

• Nu înțeleg de ce Petit folosește atâta echipament pentru a demonstra simetria care leagă cele două puncte cuspidale ale unei Cross Cap. Se poate face mult mai simplu.

Și a desenat pe tablă o sferă comprimată între două rigle care se ating și care oferă efectiv un set de auto-intersecție sub forma unui segment ale cărui extremități conțin două puncte cuspidale, ca suprafața Cross Cap. Din păcate, și domnul respectiv s-a dat seama, aceasta nu este suprafața Cross Cap.

• Diavolul, ce este atunci? a întrebat cineva.

Este pur și simplu o imersiune a unei sfere, cu două puncte cuspidale. Dacă le aducem împreună într-un singur punct, obținem o linie de auto-intersecție care devine un cerc. Obținem (în colțul din dreapta jos) o imersiune a sferei pe care trebuie doar să o transformăm în imersiunea sa standard. Putem și să oferim o reprezentare poliedrică a acestei suprafețe:

Este o suprafață bilaterală ale cărei curbură totală este 2p.

Într-adevăr, putem juca destul de mult cu aceste „summersionări”. Considerăm o imersiune a unui tor obținut prin rotirea simbolului „infinit” în jurul unui ax:

Tehnica de a face punctele cuspidale să conflueze într-un singur punct ne permite să ajungem rapid la imersiunea standard a torului, așa cum este explicat mai sus în desenele succesive.

Dar lucrurile nu sunt mereu atât de ușoare și evidente. Să luăm, de exemplu, o sferă comprimată între două segmente care, de data aceasta, sunt mai scurte decât diametrul. Obținem din nou două puncte cuspidale.

Deoarece această suprafață conține un bandă Möbius, este unilaterală. Am pus alături o reprezentare poliedrică care ne permite să calculăm curbură totală. Obținem atunci zero. Dacă nu mă înșel, ar trebui să fie o sticlă Klein. De obicei se cunoaște doar imersiunea clasică, în care linia de auto-intersecție este un simplu cerc. Dar există și altele, cum este aceasta. Confesez că nu am încă găsit modul de a o transforma într-o sticlă Klein obișnuită. Pe de altă parte, nu știu nici dacă această „imersiune” și cea clasică se află în aceeași clasă de omotopie (pentru sferă, de exemplu, există doar una). A priori, nu e sigur: torul poate fi imersat în spațiul tridimensional în patru moduri diferite, care nu pot fi transformate una în alta prin omotopie regulată. În așteptarea descoperirii dacă este posibil sau nu în acest caz, m-am distrat transformând-o, creând două puncte cuspidale suplimentare, obținând astfel două Cross Cap legate printr-un tub. Dezmembrându-le, se constată că caracteristica Euler-Poincaré este zero.

Această suprafață ciudată ar trebui să se transforme într-una dintre cele patru imersiuni posibile ale sticlei Klein, dar care? În orice caz, iată una obținută prin rotirea unui 8 în jurul unui ax, în timp ce el însuși efectuează o jumătate de rotație în jurul său:

Pagina anterioară

Torna la indicele „Transformarea unei Cross Cap în Boy”

Torna la secțiunea Noițăți Torna la secțiunea Ghid Torna la Pagina Principală

Numărul de vizite de la 25 nov 2004:

Imagini