Geometria suprafețelor modele matematice

Cum transformăm o suprafață Cross Cap într-o suprafață de Boy (dreaptă sau stângă, la alegere), trecând prin suprafața română a lui Steiner.

Italiană: Andrea Sambusetti, universitatea din Roma

../../Crosscap_Boy1.htm

27 septembrie - 25 octombrie 2003

Pagina 4

Prezentăm modelul și dintr-un alt punct de vedere:

Tabelul 14: repetăm mereu aceeași operație, creând al treilea „ureche” al curbei de auto-intersecție. În modelul poliedric, aceasta are forma a trei pătrate cu un vârf comun: punctul triplu T.

Tabelul 15: rotind obiectul, veți recunoaște versiunea poliedrică a suprafeței de Boy pe care am prezentat-o în Topologicon (unde puteți găsi și un plan de montaj care vă permite să o construiți).

Ultimul tabel: am încercat să ilustrez suprafața lui Steiner în timp ce se întoarce și se transformă într-o suprafață de Boy.

Vedeți că, desenată în „rotunjire”, are nevoie de multă practică pentru a fi înțeleasă. Ochii noștri sunt foarte neliniști când trebuie să înțeleagă un obiect pentru care, pe aceeași linie vizuală, se suprapun mai mult de două fețe. De aici interesul modelului poliedric, care aduce la îndemâna oricui, dacă doar încearcă să construiască singur micile modele, transformări considerate complicate în geometrie. Menționăm în trecere că, în funcție de perechile de puncte cuspidale alese, se obține o suprafață de Boy „dreaptă” sau „stângă” (definiții complet arbitrare). Planul proiectiv se imergă în spațiu prin două reprezentări „antiautomorfe” speculare. Vedeți deci că se poate trece de la o suprafață de Boy dreaptă la una stângă prin intermediul unui model „central”, care este suprafața română a lui Steiner.

Ar fi fără îndoială frumos dacă aceste desene ar fi publicate în reviste precum Pour la Science sau La Recherche. Dar de douăzeci de ani mi se este „interzisă” publicarea în aceste reviste din cauza deviației ufologice. Mulțumesc, domnii Hervé This și Philippe Boulanger. Am pierdut numărul articolului de acest tip pe care le-am propus și care mi-au fost plăcut răspunse negativ. Se ajunge să te obișnuiești cu statutul tău de excomunicat.

Ca anecdotic, există un „Premiu Alembert” destinat să recompenseze autori de cărți de divulgare matematică. Istorisirea mi-a fost povestită de un membru al comisiei încărcate cu decizia asupra cine ar primi premiul (există totuși chestiuni de bani în spate). Dialog:

În definitiv, de ce nu îi dăm premiul lui Petit? A scris opere remarcabile precum „Géométricon”, „Trou Noir” și „Topologicon”.
Da, dar nu a făcut doar asta.
La ce vă referiți?
A scris și „Mur du Silence”.
Ah, bine, atunci...

Da, „Mur du Silence”, publicat în 1983, este un album dedicat MHD. Și, cum știe oricine, această știință corozivă are ca calitate, sau defect, posibilitatea ca discurile zburătoare să se miște cu viteză supersonică fără să facă „Bang”.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Am în cutiile mele o versiune minunată a „răsturnării cubului”, care nu este versiunea poliedrică a variantei lui Morin. Totul e din propria mea mână. Într-o zi...

22 octombrie 2003: Nu vă chinuiți prea mult pe aceste pagini, dacă pot crede în contor. Luni, 13 octombrie 2003, am susținut un seminar la CMI (Centrul de Matematică și Informatică de la Château-Gombert-Marseille) pe invitația lui Trotman. În acea ocazie am putut scoate o colecție de aproximativ treizeci de modele din carton, pe care le veți putea gustă într-o zi, deoarece au fost fotografiate de Christophe Tardy.

Când susții un seminar, se creează o anumită atmosferă. În fotografia de mai jos, iată un geometru care exprimă nedumerirea sa.

În fundal, o parte dintre modelele expuse cu ajutorul colaboratorului meu de lungă durată, Boris Kolev, membru al departamentului, și el geometru. Într-un moment dat, am pus întrebarea:

Câți dintre voi au văzut deja o suprafață română a lui Steiner? Ridicați mâna.

Nimeni nu o văzuse niciodată. Mi s-a părut deci util să prezint acest obiect, cu un program de realitate virtuală, pe laptopul pe care-l aveam cu mine, program realizat cu ajutorul lui Christophe Tardy, inginer, și al lui Frédéric Descamp, de la Institutul Laue Langevin din Grenoble (ILL). Evident, această prezentare sperie publicul, puțin obișnuit să vadă suprafețele matematice făcând mișcări la întâmplare.

Două table de carton, vizibile în prim-plan, au permis prezentarea întregii succesiuni de modele în ordinea lor logică. Modelele verzi și galbene ilustrează, sub formă poliedrică, instrumentul esențial de creare-dizolvare a unei perechi de puncte cuspidale. Obiectul alb mai departe este o versiune poliedrică a suprafeței Cross Cap, care se transformă mai întâi în versiunea poliedrică a suprafeței române a lui Steiner, apoi, la un metru mai departe, la alegere, într-o suprafață de Boy „dreaptă” sau „stângă”.

Analiza modelelor scoate la lumină diverse observații din partea publicului. Unul dintre geometri întreabă:

Dacă este adevărat că, urmând modelele în această ordine, se poate trece de la suprafața Cross Cap la cea de Boy, pare că, urmând procedura inversă, se poate transforma o suprafață de Boy într-o Cross Cap.

Răspund afirmativ. Îndrăznit, interlocutorul meu adaugă:

Atunci, dacă ne oprim la stadiul suprafeței române a lui Steiner, ar trebui să fie posibil să revenim la o suprafață de Boy, dar reflectată față de cea inițială.

Aprob din nou. Dar, din păcate, nimeni nu va oferi o lămurire asupra acestui lume ciudată în care se permite ca imersiunile suprafețelor închise să aibă puncte cuspidale, create sau dizolvate în perechi, al căror ansamblu constituie o specie de extindere a lumii imersiunilor. Cuvântul „summersione” mi se pare potrivit. Dacă un cititor este capabil să ofere o lămurire, este binevenit.

Curbură concentrată într-un punct cuspidal.

O vom calcula adunând unghiurile la vârf și comparând această sumă cu rezultatul obținut în cazul planului euclidian: 2π.

În colțul din stânga sus puteți vedea una dintre multele reprezentări poliedrice posibile ale unui punct cuspidal. „Demontând” suprafața, ajungem la o sumă de unghiuri care depășește valoarea 2π cu 2α. Se deduce că curbură unghiulară concentrată în jurul acestui punct C este -2α. Dacă unghiul α este egal cu π/2, atunci curbură negativă este -π (figura din colțul din stânga jos). În realitate, curbură unui punct cuspidal poate lua orice valoare infinită. În colțul din dreapta jos accentuăm suma unghiulară și curbură devine atunci < -π (am crescut curbură negativă).

Operațiunea inversă ne poate duce la o situație destul de surprinzătoare: putem face ca curbură (unghiulară) concentrată în C să fie ... nulă:

Pornind de la o reprezentare poliedrică a suprafeței Cross Cap cu două puncte cuspidale, fiecare având curbură egală cu -π:

În această figură există opt „posiconi” de valoare +π/2. Adăugăm patru alți „posiconi” cu curbură +π/4 și patru „negaconi” cu curbură -π/4.

Plus cele două puncte cuspidale cu curbură -π.

Total: 2π

Împărțind valoarea acestei „curbură totale” la 2π, recuperăm valoarea caracteristicii lui Euler-Poincaré a oricărei reprezentări a planului proiectiv (sau a suprafeței de Boy).

În timpul conferinței am amintit de artă și de modul de permutare a celor două puncte cuspidale ale unei suprafețe Cross Cap folosind răsturnarea sferei. Nu mai știu dacă am pus această idee pe site-ul meu. E un așa de labirint. Va trebui să caut, altfel o voi adăuga. E amuzant. Faptul este că această operațiune nu i-a plăcut deloc uneia dintre persoanele prezențe la seminar:

Nu înțeleg de ce Petit folosește atâta echipament pentru a demonstra simetria care leagă cele două puncte cuspidale ale unei Cross Cap. Se poate face mult mai simplu.

Și a desenat pe tablă o sferă comprimată între două rigle care se ating și care dă efectiv un set de auto-intersecție sub forma unui segment, ale cărui extremități au două puncte cuspidale, ca suprafața Cross Cap. Din păcate, și domnul respectiv a observat, aceasta nu este suprafața Cross Cap.

Diavol, ce este atunci? A întrebat cineva.

Este pur și simplu o imersiune a unei sfere, cu două puncte cuspidale. Dacă le aducem împreună într-un singur punct, obținem o linie de auto-intersecție care devine un cerc. Obținem (în colțul din dreapta jos) o imersiune a sferei pe care trebuie doar să o transformăm în încorporarea sa standard. Putem și oferi o reprezentare poliedrică a acestei suprafețe:

Este o suprafață bilaterală al cărei curbură totală este 2π.

Într-un cuvânt, ne putem distra foarte bine cu aceste „summersioni”. Considerăm o imersiune a unui tor obținut prin rotirea simbolului „infinit” în jurul unui ax:

Tehnica de a face punctele cuspidale să conflueze într-un singur punct ne permite să ajungem rapid la încorporarea standard a torului, așa cum este explicat mai sus în desenele succesive.

Dar lucrurile nu sunt mereu atât de ușoare și evidente. Luați, de exemplu, o sferă comprimată între două segmente care, de data aceasta, sunt mai scurte decât diametrul. Obținem din nou două puncte cuspidale.

Deoarece această suprafață conține un bandă Möbius, este unilaterală. Am pus alături o reprezentare poliedrică care permite calcularea curburii totale. Obținem atunci zero. Dacă nu mă înșel, ar trebui să fie o sticlă Klein. De obicei se cunoaște doar imersiunea clasică, în care linia de auto-intersecție este un simplu cerc. Dar există și altele, cum este aceasta. Confesez că nu am găsit încă modul de a o transforma într-o sticlă Klein obișnuită. Pe de altă parte, nu știu nici dacă această „imersiune” și cea clasică se află în aceeași clasă de omotopie (pentru sferă, de exemplu, există doar una). A priori, nu este sigur: torul poate fi imersat în spațiul tridimensional în patru moduri diferite, care nu pot fi transformate una în cealaltă prin omotopie regulată. În așteptarea descoperirii dacă este posibil sau nu în acest caz, m-am distrat transformând-o, creând două puncte cuspidale în plus, obținând astfel două Cross Cap legate printr-un tub. Dezmembrându-le, se constată că caracteristica lui Euler-Poincaré este zero.

Această suprafață ciudată ar trebui să se transforme în una dintre cele patru imersiuni posibile ale sticlei Klein, dar care? În orice caz, iată una obținută prin rotirea unui 8 în jurul unui ax, în timp ce acesta însuși efectuează o jumătate de rotație în jurul său:

Pagina anterioară

Torna la indicele „Transformarea unei Cross Cap în Boy”

Torna la secțiunea Noutăți Torna la secțiunea Ghid Torna la Pagina Principală

Numărul de vizite de la 25 noiembrie 2004: